Hasegawa-Kishino-Yano (HKY) mode

长谷川-岸野-野野（HKY）1985替换模型

Jukes-Cantor模型假设所有替换率均相等，这也意味着四个核苷酸碱基的固定频率均相等。这些假设在生物学上不是很合理，因此我们不妨考虑一个更现实的替代模型，以放松其中的一些假设。例如，我们可以允许固定频率，π，这是不均相等的，并允许转换和颠换的比率不同， κ。这对应于长谷川等人提出的替代模型。（1985），由以下瞬时速率矩阵指定：

对角线 · $\cdot$

使用该文件mcmc_JC.Rev作为HKY分析的起点。

请注意，我们向模型添加了两个新变量。我们可以pi为固定频率定义一个变量，该变量是从平面Dirichlet分布得出的

pi_prior <-v（1,1,1,1）
pi〜dnDirichlet（pi_prior）


狄利克雷分布是一组连续多变量概率分布，是多变量普遍化的Β分布。
为了纪念德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）而命名。
狄利克雷分布常作为贝叶斯统计的先验概率。当狄利克雷分布维度趋向无限时，便成为狄利克雷过程（Dirichlet process）。 
狄利克雷分布奠定了狄利克雷过程的基础，被广泛应用于自然语言处理特别是主题模型（topic model）的研究。

Dirichlet分布的概率密度函数


维度K ≥ 2的狄利克雷分布在参数α1, ..., αK > 0上、基于欧几里得空间RK-1里的勒贝格测度有个概率密度函数，定义为：



x1, ..., xK–1 > 0并且x1 + ... + xK–1 < 1，xK = 1 – x1 – ... – xK–1. 
在(K − 1)维的单纯形开集上密度为0。 归一化衡量B(α)是多项Β函数，可以用Γ函数（gamma function）表示：




在概率论中，Β分布也称贝塔分布（Beta distribution），是指一组定义在 {displaystyle (0,1)} (0,1)区间的连续概率分布，有两个参数 {displaystyle alpha ,eta >0} alpha ,eta >0。

B分布的概率密度函数是：

由于pi是随机变量，因此我们需要指定一个步骤以提议对其进行更新。从Dirichlet分布得出的变量的一个好的移动是把mvBetaSimplex。此移动随机从单纯形中获取一个元素，从Beta分布中为其提出一个新值，然后重新缩放单纯形的所有值以再次求和为1。

move.append（mvBetaSimplex（pi，weight = 2））
move.append（mvDirichletSimplex（pi，weight = 1））

第二个新变量是 $κ$

kappa〜dnLognormal（0.0，1.0）

同样，我们需要为此新的随机变量指定一个移动。一个简单的扩展步骤就可以完成任务。

moves.append（mvScale（kappa））

最后，我们需要使用以下fnHKY函数创建HKY瞬时率矩阵：

Q：= fnHKY（kappa，pi）

HKY85，Hasegawa，Kishino和Yano 1985年的模型[13]可以认为是结合了Kimura80和Felsenstein81模型中的扩展。即，区分的速率之间的转换和颠换（使用κ参数），它允许不相等的基础频率（ { displaystyle pi _ {A} neq pi _ {G} neq pi _ {C} neq pi _ {T}} { displaystyle pi _ {A} neq pi _ {G} neq pi _ {C} neq pi _ {T}}）。[费尔森斯坦（Felsenstein）在1984年使用不同的参数化方法描述了一个类似（但不等价）的模型；[14]后一种模型称为F84模型。[15 ]

费率矩阵

如果我们用每个点的预期更改数来表示分支长度ν，则：

其他状态组合的公式可以通过替换为适当的基本频率来获得。

来源：

https://revbayes.github.io/tutorials/ctmc/

https://en.wikipedia.org/wiki/Models_of_DNA_evolution