投影矩阵的计算公式
对于矩阵(A=[alpha_1,...,alpha_n]), 其列空间的投影矩阵为(P=A(A^TA)^{-1}A^T)，即投影矩阵(P)与(n)维向量 (x) 的乘积(Px)为(x)在(A)的列空间上的投影
当(A)只有一列时(令(A=alpha))，投影矩阵为(P=frac{alpha alpha^T}{alpha^T alpha})
实对称矩阵分解为投影矩阵
对于(n)阶实对称矩阵(S)，可以进行谱分解：(S=sumlimits_{i=1}^{n} lambda_i u_i u^T_i)，其中(u_i)为两两正交的单位特征向量。
根据投影矩阵的定义式，(u_i u^T_i) 也就是 (u_i) 所在的一维子空间的投影矩阵。因此矩阵(S)的谱分解实际上也就是将(S)分解为(n)个投影矩阵。
由于(S)是对(n)维向量的一个算子，因此(S)的谱分解就是将一个算子分解成了若干投影算子。