本文介绍模拟信号 (x_a(t)) 与数字信号 (x(n)=x_a(nT)) 二者的傅里叶变换的关系。
对于一个模拟信号 (x_a(t))，以周期 (T) 对其进行理想采样可以得到采样信号
(hat{x}_a(t)=sumlimits_{n}x(t)delta(t-nT))
(hat{x}_a(t)) 的频谱是 (x_a(t)) 的频谱的周期延拓
(hat{X}_a(jOmega)=frac{1}{T}sumlimits_{k}X_a(jOmega-jkOmega_s))
通过 (hat{x}_a(t)) 的定义也可以求得 (hat{X}_a(jOmega)) 的另一种展开式
(hat{X}_a(jOmega)=sumlimits_{n}x_a(nT)e^{-jOmega nT})
定义数字信号 (x(n)=x_a(nT))，则可以发现
(hat{X}_a(jOmega)=sumlimits_{n}x_a(nT)e^{-jOmega nT}=sumlimits_{n}x(n)(e^{jOmega T})^{-n}=X(e^{jOmega T}))，其中 (X) 代表 (z) 变换
通过 (hat{X}_a(jOmega))，我们建立了 (x_a(t)) 与 (x(n)) 的频谱的联系
(X(e^{jOmega T})=frac{1}{T}sumlimits_{k}X_a(jOmega-jkOmega_s))
再定义数字频率 (omega=Omega T)，则有
(X(e^{jomega})=frac{1}{T}sumlimits_{k}X_a(jfrac{omega-2pi k}{T}))
参考文献：
《数字信号处理(第四版)》(高西全，丁玉美) 2.4节