洛谷 P1438 无聊的数列 题解

原题链接

首先,我们考虑用差分解决问题。

(x_i) 表示原数列,(a_i = x_i - x_{i-1})

那么,先普及一下差分:

如果我们只需要维护区间加值,单点求值的话,你会发现两个重要等式:

[a_i = x_i - x_{i-1} ]

[sum_{j=1}^i a_j = x_i ]

我们每次修改 (l,r) 区间增加 (k) 的话,你会发现:

(l+1,r) 这一段,所有的 (a_i) 都是不变的。这是因为:

[(x_i + k) - (x_{i-1} + k) = x_i - x_{i-1} = a_i ]

那么对于 (a_l) 这个点,显然:

[(x_l + k) - x_{l-1} = (x_l - x_{l-1}) + k = a_l + k ]

对于 (a_{r+1}) 这个点,显然:

[a_{r+1} - (a_r + k) = (a_{r+1} - a_r) - k = a_{r+1} - k ]

这是正常的差分。

可是,我们现在加上了一个 等差数列 。由于等差数列的性质,显然每个点加上的值比前一个点多 (d).

所以, (l+1 , r) 这一段, (a_i gets a_i + d) .

那么对于 (a_l) 这个点:

[(x_l + k) - x_{l-1} = (x_l - x_{l-1}) + k = a_i + k ]

对于 (a_{r+1}) 这个点:

[x_{r+1} - (x_r + k + (r-l) imes d) = (x_{r+1} - x_r) - (k + (r-l) imes d) = a_{r+1} - (k + (r-l) imes d) ]

下面我们考虑单点查询。

[x_i = sum_{j=1}^i a_j ]

显然,我们用 线段树 维护 (x) 数组的区间修改和区间求和。

时间复杂度: (O(n log n + m log n)).

空间复杂度: (O(n)).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+1;
#define L (i<<1)
#define R i<<1|1 

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

struct tree{
	int l,r; ll tag;
	ll sumi;
};
tree t[4*N];
int n,m,x[N]; //原数组
ll a[N];      //差分后的数组

inline void update(int i) {
	t[i].sumi=t[L].sumi+t[R].sumi;
} //更新

inline void pass(int i,ll x) {
	t[i].tag+=x;
	t[i].sumi+=x*(t[i].r-t[i].l+1);
}

inline void pushdown(int i) {
	pass(L,t[i].tag);
	pass(R,t[i].tag);
	t[i].tag=0;
} //下传标记

inline void build_tree(int i,int l,int r) {
	t[i].l=l; t[i].r=r;
	if(l==r) {
		t[i].sumi=a[l]; t[i].tag=0;
		return;
	} int mid=(l+r)>>1;
	build_tree(L,l,mid);
	build_tree(R,mid+1,r);
	update(i);
} //建树

inline ll query(int i,int l,int r) {
	if(l<=t[i].l && t[i].r<=r) return t[i].sumi;
	int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1; ll ans=0;
	pushdown(i);
	if(l<=mid) ans+=query(L,l,r);
	if(r>mid) ans+=query(R,l,r);
	return ans; 
} //询问

inline void change(int i,int l,int r,int x) {
	if(l<=t[i].l && t[i].r<=r) {
		t[i].sumi+=x*(t[i].r-t[i].l+1);
		t[i].tag+=x; return ;
	} pushdown(i);
	int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1;
	if(l<=mid) change(L,l,r,x);
	if(r>mid) change(R,l,r,x);
	update(i);
} //修改

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=ll(x[i]-x[i-1]);
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]);
//	putchar('
');
	build_tree(1,1,n);
	while(m--) {
		int opt=read();
		ll l,r,k,d;
		if(opt==1) {
			l=read(),r=read(),k=read(),d=read();
			change(1,l,l,k);
			if(r>l) change(1,l+1,r,d); 
			if(r-n) change(1,r+1,r+1,-(k+(r-l)*d));
                        //维护 
		} else printf("%lld
",query(1,1,read()));
	}
	return 0;
}
简易的代码胜过复杂的说教。
原文地址:https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12503434.html