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先上模板：
1 /* 用于求整数解得方程组. */ 2 #include <iostream> 3 #include <string> 4 #include <cmath> 5 using namespace std; 6 const int maxn = 105; 7 int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var. 8 int a[maxn][maxn]; 9 int x[maxn]; // 解集. 10 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. 11 int free_num; 12 void Debug(void) 13 { 14 int i, j; 15 for (i = 0; i < equ; i++) 16 { 17 for (j = 0; j < var + 1; j++) 18 { 19 cout << a[i][j] << " "; 20 } 21 cout << endl; 22 } 23 cout << endl; 24 } 25 inline int gcd(int a, int b) 26 { 27 int t; 28 while (b != 0) 29 { 30 t = b; 31 b = a % b; 32 a = t; 33 } 34 return a; 35 } 36 inline int lcm(int a, int b) 37 { 38 return a * b / gcd(a, b); 39 } 40 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数) 41 int Gauss(void) 42 { 43 int i, j, k; 44 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. 45 int col; // 当前处理的列. 46 int ta, tb; 47 int LCM; 48 int temp; 49 int free_x_num; 50 int free_index; 51 // 转换为阶梯阵. 52 col = 0; // 当前处理的列. 53 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) 54 { // 枚举当前处理的行. 55 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) 56 max_r = k; 57 for (i = k + 1; i < equ; i++) 58 { 59 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; 60 } 61 if (max_r != k) 62 { // 与第k行交换. 63 for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); 64 } 65 if (a[k][col] == 0) 66 { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列. 67 k--; continue; 68 } 69 for (i = k + 1; i < equ; i++) 70 { // 枚举要删去的行. 71 if (a[i][col] != 0) 72 { 73 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); 74 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); 75 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. 76 for (j = col; j < var + 1; j++) 77 { 78 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb; 79 } 80 } 81 } 82 } 83 Debug(); 84 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 85 for (i = k; i < equ; i++) 86 { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换. 87 if (a[i][col] != 0) return -1; 88 } 89 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵. 90 // 且出现的行数即为自由变元的个数. 91 if (k < var) 92 { 93 // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个. 94 for (i = k - 1; i >= 0; i--) 95 { 96 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行. 97 // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的. 98 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元. 99 for (j = 0; j < var; j++) 100 { 101 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; 102 } 103 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. 104 // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的. 105 temp = a[i][var]; 106 for (j = 0; j < var; j++) 107 { 108 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; 109 } 110 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. 111 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. 112 } 113 return var - k; // 自由变元有var - k个. 114 } 115 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. 116 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. 117 for (i = var - 1; i >= 0; i--) 118 { 119 temp = a[i][var]; 120 for (j = i + 1; j < var; j++) 121 { 122 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; 123 } 124 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解. 125 x[i] = temp / a[i][i]; 126 } 127 return 0; 128 } 129 int main(void) 130 { 131 freopen("Input.txt", "r", stdin); 132 int i, j; 133 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) 134 { 135 memset(a, 0, sizeof(a)); 136 memset(x, 0, sizeof(x)); 137 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. 138 for (i = 0; i < equ; i++) 139 { 140 for (j = 0; j < var + 1; j++) 141 { 142 scanf("%d", &a[i][j]); 143 } 144 } 145 // Debug(); 146 free_num = Gauss(); 147 if (free_num == -1) printf("无解! "); 148 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解! "); 149 else if (free_num > 0) 150 { 151 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d ", free_num); 152 for (i = 0; i < var; i++) 153 { 154 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的 ", i + 1); 155 else printf("x%d: %d ", i + 1, x[i]); 156 } 157 } 158 else 159 { 160 for (i = 0; i < var; i++) 161 { 162 printf("x%d: %d ", i + 1, x[i]); 163 } 164 } 165 printf(" "); 166 } 167 return 0; 168 }
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。
下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目：
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。
POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。
注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。
POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题，有各种解法，也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...)，由于周期4不是素数，故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解集变大)，但最后求解集时，还是需要进行取余操作，那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路过的大牛指点下～～
POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题，由于题目中的p是素数，可以直接在求解时取余，套用模板求解即可。(虽然AC的人很少，但它还是比较水的一道题，)
POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...)，但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点，我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数，然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组，要注意精度问题，然后又询问不确定的变元，按前面说的方法求解。
一顿折腾后，这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能还是精度的问题吧...看这题目，看这代码，就没有改的欲望...
hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题，当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类，套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定～～
注意下0和负数时的输出即可。
fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目，还是经典的开关问题，但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了～～)，最后要求增广阵的阶，要用到高精度～～
Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html
这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似，就不提供了)～～
下面的总结转载自： 英雄哪里出来 这篇博客写的也非常不错，里面有对高斯消元好多题目的思路详解，强力推荐！
高斯消元
算法目的：
高斯消元，一般用于求解线性方程组AX = B（或 模线性方程组AX mod P = B），以四个未知数，四个方程为例，AX=B表示成4x4的矩 阵和4x1的矩阵相乘的形式：
其中A和B(b0 b1 b2 b3)已知，要求列向量X(x0 x1 x2 x3)的值。
算法核心思想：
对于n个方程，m个未知数的方程组，消元的具体步骤如下：
1、枚举第i (0 <= i < n) 行，初始化列为col = 0，每次从[i, n)行中找到第col列中元素绝对值最大的行和第i行进行交换(找到最大的行是为了在消元的时候把浮点数的误差降到最小)；
a) 如果第col列的元素全为0，放弃这一列的处理，col+1，i不变，转1)；
b) 否则，对于所有的行j (i < j < n)，如果a[j][col]不为0，则需要进行消元，以期第i行以下的第col列的所有元素都消为0（这一步就是线性代数中所说的初等行变换，具体的步骤就是将第j行的所有元素减去第i行的所有元素乘上一个系数，这个系数即a[j][col] / a[i][col]）。
2、重复步骤1) 直到n个方程枚举完毕或者列col == m。
3、判断解的情况：
a) 如果出现某一行，系数矩阵全为0，增广矩阵不全为0，则无解（即出现[0 0 0 0 0 b]，其中b不等于0的情况）；
b) 如果是严格上三角，则表明有唯一解；
c) 如果增广矩阵有k (k > 0)行全为0，那么表明有k个变量可以任意取值，这几个变量即自由变量；对于这种情况，一般解的范围是给定的，令解的取值有T个，自由变量有V个，那么解的个数就是 TV。
算法复杂度：
O(n3)
ACM中的高斯消元题型一般涉及到的有：
1、浮点数消元
系数矩阵为整数或浮点数，消元的时候乘上的系数为浮点数，一般用于求解浮点数解，例如HDU 3359；
2、整数消元
系数矩阵全为整数，消元的时候乘上的系数均为整数，整个消元过程不出现浮点数。由于乘法很容易溢出，一般很少用。
3、模线性方程组
系数矩阵全为整数，消元的时候乘上的系数均为整数，每次运算都模上一个数P，整个消元过程不出现除法，最后求解的时候用线性同余迭代求解，一般题型较多，有的是给定解的范围，求解的数量，例如：PKU 1830、HDU 3364；有的是求一个解，例如PKU 2065、HDU 3571；有的是求解的存在性，例如PKU1288、PKU 3185。