A.皖南八校第二次联考·解析几何

题意：抛物线 (y^2=4x)，焦点 (F(1, 0))；过外一点 (A) 引切线 (AB, AC) ，令 (M) 为 ( riangle ABC) 的外心。求 (sin AFM) 的值域。

考场做了半小时。自闭了。听说很多巨佬考场切了此题。

第一步可能要先画个图，猜出来角度一定是 (90) 度（然而我当时画的图量出来二三十度……）；；

证明的话，可以考虑一堆熟知结论的堆砌：

比如你作出中位线 (DE)，容易得到直线 (DE) 是抛物线的切线（用相关点法算下 (DE) 的方程即可）；

根据外心即 (ME⊥AB)，(MD⊥AC)，那么 (ADEM) 四点共圆，且 (AM) 为直径；

注意到 (ADE) 来自三条切线构成的三角形，根据江西第一次质检的解析几何题，容易得到 (F) 在 (ADE) 的外接圆上；

那么 (A,D,E,M,F) 五点共圆，而 (AM) 是直径，即证 (angle AMF = 90°)。

B.江淮十校第二次联考·导数

题意：(f(x)=mx-ln x) 有两零点 (x_1, x_2) ，求证： (x_1+x_2 > {3over m} - e)

这个题看到之后发现是某个老题的变形，然后现场过了。另外也有很多人考场切了此题。

从这篇 2018 年的文章来看，既然是拿两年前的老题改的，那么大家都有经验也不奇怪。

我们考虑这个题的函数可以变形为 (g(x)={ln x over x} - m) ，那么它的极值点为 (e)；

那么只需把 ({eover x_1}) 、 ({x_2over e}) 代入常用对数不等式 (ln x > {2(x-1)over x+1}) 化简即证。

另外，如果我们考虑原函数的极值点呢？那么可以证得： (x_1 + x_2 > {1-ln m over m})。