第四章 随机变量的数字特征2

§4-2 方差

一.方差的概念

1、定义4.3:设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))²存在，则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即

D(X)=E(X-E(X))²

称D(X)的算术平方根为X的标准差或均方差，记为，即

由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)³0。简言之，方差是一个非负实数。

当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。

2、计算方差

（1）若X是离散型随机变量，其分布律为p_i=P(X=x_i),i=1,2,...,且D(X)存在，则

（2）若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则

（第一版）

例1：设X~B(1,p)，求D(X)

例2：设X~N(m,s²)，求D(X)

例3：设X~U[a,b]，求D(X)

(3)D(X)=E(X²)-(EX)²

证明：P112.

1. P112
2. P112

（第一版）

例4：设X~p(l)，求D(X)

例5：已知，求

二.方差的性质

性质1:若C为常数，则

D(C)=0

性质2:若C为常数,随机变量X的方差存在，则CX的方差存在，且

D(CX)=C²D(X)

证明由自己完成

性质3:若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则X±Y的方差也存在，且

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

证明：P113

推论:若随机变量X₁,X₂,…,X_n相互独立，它们的方差都存在，则X₁+X₂+...+X_n的方差存在，且

性质4:若随机变量X的方差存在，对任意的常数C¹E(X),则

D(X)= <E(X-C)²

即函数g(C)=E(X-C)²在C=E(X)处达到最小值D(X)。

性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是:

P(X=E(X))=1

例3 P113

第一版例：

例6：X服从 B(n,p),求D(X).

例7：某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。

已知

设产品价值为

取值	0	8	10
X	(X>4)	()	(X)
P(Y=k)	P(X>4= 1-0.8088 -0.1898	P() =P()- P() =[1-P()] -[1-P()] =0.1898	P(X) =1- P(X) =0.8088

元

例 ：设随机变量X的方差D(X)存在,且D(X)>0令,其中E(X)是X的数学期望，求。

三．契比雪夫不等式(Chebyshev)

契比雪夫不等式：设随机变量X的方差D(X)存在，则对任意的e>0，均有

P{êX-E(X)ï³e} £

或等价地

P{êX-E(X)ï<e}³1-

例：P{êX-E(X)ï<3σ}³0.8889

P{êX-E(X)ï<4σ}³0.9375

解：P{êX-E(X)ï<3σ}³1-

=1-

P{êX-E(X)ï<4σ}³1-

Data;

A=8/9; put a=;

A=15/16; put a=;

Run;

A=0.8888888889

A=0.9375

§4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差

P115

这部分结果很重要，要牢记。

P117， 关于正态随机变量的三个重要数据：

=0.6826894921

=0.9544997361

=0.9973002039

SAS的两种计算公式：

data;

p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;

p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;

p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;

run;

p1=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

data;

p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;

p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;

p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;

run;

p1=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。

Data;

q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;

q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;

q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;

run;

q1=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

data;

q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);put q1=;

q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);put q2=;

q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);put q3=;

run;

q1=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。

Data;

q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;

q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;

q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;

q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;

run;

q1=1.644853627

q2=1.9599639845

q3=2.326347874

q3=2.5758293035

比如，

=0.95

=0.9

等的结论也是常用的。几乎都成常识了。

书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。