第三章 多维随机变量及其分布4

§3.3 条件分布

 

由条件概率引出条件概率分布的概念。

 

定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称

 

 

 

例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。

 

解：

 

 

定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为

    ，记为在条件Y=y下X的条件概率密度，则

    

 

P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。

公式3.4和3.5.

 

 

 

 

 

1. P79，

 

 

例3 P80，

 

 

§3.4 随机变量的独立性

 

1．概念：

定义3.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分别为F_X(x), F_Y(y)。

若对任意的实数x,y，均有 F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y) (3.30)

即 P{X£x,Y£y}=P{X£x}·P{Y£y}

则称X,Y相互独立。

 

 

1. 电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位千小时）。已知X和Y的联合分布函数为：

,

1. 问X与Y是否独立？

 

解：独立。

因为：

 

 

2．判断两个随机变量是否独立的定理

定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x₁<x₂,y₁<y₂,均有

P{x₁<X£x₂,y₁<Y£y₂}=P{x₁<X£X₂}· P{ y₁<Y£y₂}。

 

定理3.1^' 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y,均有

P{X>x,Y>y}=P{X>x}P{Y>y}

 

定理3.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分别为p_ij, p_i. ,p_.j, i,j=1,2,…,则 X,Y相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有

p_ij=p_i.p_.j

即 P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}·P{Y=y_j}

 

定理3.3 设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为f_X(x) ,f_Y(y)，则X,Y相互独立的充要条件是： f_X(x)f_Y(y)=f(x,y)

其中：f(x,y)是（X,Y）的联合概率密度。

 

例6：（续例3.5第一版 ）第二版P82，这里的结论很重要。

 

设 (X,Y)服从于N，证明 X,Y相互独立的充要条件是：=0。

证明：由第一版例3.5知（X,Y）的联合概率密度、X和Y的边缘概率密度分别为

 

 

充分性 若r=0，此时二元函数

f_X(x)f_Y(y)=f(x,y)

是(X,Y)的联合概率密度，所以X,Y相互独立；

 

必要性 若X,Y相互独立，则

f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

取x=m₁、y=m₂代入上式，即得

于是r=0。

 

例1 P83，挺怪一例子，好象是为了算概率而不是为了说明这段的内容。

 

 

3．二维随机变量独立性概念的推广

 

定义3.6 设(X₁、X₂、…、X_n)是n维随机变量，其联合分布函数和一维边缘分布函数分别为F(x₁、x₂、…、_,x_n)、、、…、,若对任意的实数x₁、x₂、…、x_n均有

F(x₁、x₂、…、_,x_n)=·…

则称X₁、X₂、…、X_n相互独立。

 

定义3.7 设X₁、X₂、…、X_n、…是一列随机变量，若其中任意有限个随机变量是相互独立的，则称这一列随机变量是相互独立的。