§3 二次曲线的切线和奇点
一 切线:
1、定义:若一直线l与二次曲线C交于二重合实点,或l整个在二次曲线C上,则称l
为C的切线。切线与C的公共点称为切点。
2、求法:
设(
,
)∈C,以
为切点的切线 l:
今确定X:Y
1°当(
,
),
(
,
)不全为0时,
若X:Y不是渐近方向,则l与C相切〈═〉l与C交于二重合实点
〈═〉△=[(
,
)X+
(
,
)Y]²-Φ(X,Y)F(
,
)=0
〈═〉(
,
)X+
(
,
)Y=0〈═〉X:Y=-
(
,
):
(
,
)
若X:Y是渐近方向,则l与C相切〈═〉l处在C上〈═〉
(
,
)X+
(
,
)Y=0〈═〉X:Y=-
(
,
):
(
,
)
从而切线l:
即 (
,
)(x-
)+
(
,
)(y-
)=0
(
,
)x+
(
,
)y-[
(
,
)
+
(
,
)
]=0
(
,
)x+
(
,
)y+
(
,
)=0
亦即
x+
(
y+
x)+
y+
(x+
)+
(y+
)+
=0 (*)
注:在(
,
)与
(
,
)不全为0时,(*)即为以
(
,
)为切点的切线方程。不难看出,若
(
,
)使
(
,
),
(
,
)不全为0,则要求以
为切点的切线,只需要在C的方程中,以
x ,
,
y ,
,
替换x² xy y² x y
即可
2°当(
,
)=
(
,
)=0时,
对过
且沿非渐近方向的直线l:
,
△=[(
,
)X+
(
,
)Y]²-Φ(X,Y)F(
,
)=0
∴l是切线;而对任意过且沿渐近方向的直线l:
Φ(X,Y)=(
,
)X+
(
,
)Y=F(
,
)=0,
∴l整个在曲线 即l也是切线
可见,若曲线C上一点(
,
)使
(
,y。)=
(
,
)=0,则过
的任一直线均是C的切线。为使得过C上任一点只有唯一切线,在这种情形下,通常只取过
且沿渐近方向的直线作为C的切线。
二 奇点:
1、定义:二次曲线上坐标满足的点称为奇点。二次曲线上的非奇点又称为正常点。
可见:
1°一点(
,
)为奇点〈═〉
〈═〉
2°奇点必是中心,但中心未必是奇点,从而无心曲线没有奇点。
3°在奇点处,曲线有沿渐近方向的切线;而在正常点处,曲线有沿
X:Y=-(
,
):
(
,
)的切线,从而在正常点处,切线是唯一的
2、性质:
1°二次曲线有奇点的必要条件是=0
事实上,若二次曲线有奇点(
,
),则
∴方程组 有非0解(
,
,1)
∴=0
思考:=0是否为二次曲线有奇点的充分条件?为什么?
2°二次曲线有奇点的充要条件是其为有心二次曲线,其中心全在二次曲线上,
事实上"〈═"显然
"═〉"设二次曲线F(x,y)=0有奇点。
若曲线为中心二次曲线,则这唯一中心也是奇点
∴中心在曲线上;
若曲线为线心曲线,因它有奇点 ∴方程组
有解
同解
同解
有解
而
:
=
:
∴
:
=
:
:
=
:
=
:
x+
y+
=0
∴中心全是奇点,从而所有中心都在曲线上。
例:求二次曲线y²-4x-4y=0的切线l
(i)l过点(3,-2);
(ii)l过点(-1,0)。
解:(i)易验证点(3,-2)在曲线上,且该曲线上无奇点,∴切线方程为
-2y-2(y-2)-2(x+3)=0
即 x+2y+1=0
(ii)易验证(-1,0)不在曲线上,
法一:设过(-1,0)的切线l与曲线切于(
,
)
则 l:y-2(y+
)-2(x+
)=0
而(-1,0)∈l ∴-2-2(
-1)=0
即 +
-1=0
又 ²-4
-4
=0
∴=-1,3
=2,-2 ∴切线l:2y-2(y+2)-2(x-1)=0
或-2y-2(y-2)-2(x+3)=0 即
x+1=0或x+2y+1=0
法二:
设过(-1,0)饿切线l: 则
△=[(-1,0)X+
(-1,0)Y]²-Φ(X,Y)F(-1,0)=0
即 [-2X-2Y]²-4Y²=0
亦即X²+2XY=0 ∴X=0或X=-2Y
∴X:Y=0:1 或 X:Y=-2:1 ∴ l: 或 l:
法三:设切线l: 则 X:Y =(x+1):y
而△=[(-1,0)X+
(-1,1)Y]²-Φ(X,Y)F(-1,0)=0
∴[(-1,0)(x+1)+
(-1,0)y]²-4y²=0
即[-1(x+1)-2y]²-4y²=0
亦即(x+y+1)²-y²=0 ∴x+1=0或 x+2y+1=0
三 二次曲线的法线:
定义:设二次曲线F(x,y)=0在处存在切线,称过
且垂直于切线的直线为曲
线在的法线。
求法:若(
,
)是二次曲线F(x,y)上的正常点,则
法线 l: