线性空间
向量空间
定义：
设$v$为$n$维向量的集合，如果集合$v$非空，且集合$v$对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合$v$为向量空间
向量组的秩
线性组合与线性表示
向量$eta$可由向量组$alpha_1,alpha_2,cdots ,alpha_m $线性表示的充分必要条件是：
$alpha_1x_1+alpha_2x_2+cdots+alpha_mx_m=eta$有解
线性相关及线性无关
性质
- 包含零向量的任何向量组线性相关；
- 有两个向量相等的向量组线性相关；
- 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；
- 两个向量对应分量成比例，线性相关
- 基本向量组或单位坐标向量组线性无关
定理
- $n$维向量组$A=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)$线性相关，若$n=m$则$|A|=0$
- $n$维向量组$A=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)$线性无关，若$n=m$则$|A| eq0$
- 部分相关则整体相关
- 整体无关则部分无关
- n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关
- n维向量组线性相关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性相关
- 向量组 $A(alpha_1,cdots,alpha_m)$线性无关,而向量组$B(alpha_1,cdots,alpha_m,eta)$线性相关,则向量$eta$必能由向量组$A$线性表示且表示式唯一
- $m>n$时，$m$个$n$维向量必线性相关.
- 阶梯形向量必然线性无关
极大无关组
- 只含零向量的向量组没有极大无关组.
- 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
- 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示
- 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但包含相同个数的向量
- 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
向量组的秩
定义
向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
性质
- 零向量组的秩为0
- 设向量组$A(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_m)$的秩为$r$,则：
$r<m$时，该向量组线性相关
$r=m$时，该向量组线性无关 - 如向量组$A(alpha_1,cdots,alpha_s)$可由向量组$B(eta_1,cdots,eta_t)$线性表示，则$R(A)≤R(B)$
- 矩阵的行秩＝矩阵的列秩
注意：
两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个
线性表示，则这两个向量组等价。
基与维数
- 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为$0$
- 如果把向量空间看作向量组，可知， V的基就是向量组的极大无关组， V的维数就是向量组的秩
- 向量空间的基不唯一
基的变换
$x_1,x_2,cdots,x_n$与$y_1,y_2,cdots,y_n$是$n$维线性空间$V$的两组不同基。
则由基的定义(极大线性无关组)，有
$$
egin{cases}
y_1=p_{11}x_1+p_{21}x_2+cdots+p_{n1}x_n \
y_2=p_{12}x_1+p_{22}x_2+cdots+p_{n2}x_n \
cdotscdots \
y_n=p_{1n}x_1+p_{2n}x_2+cdots+p_{nn}x_n
end{cases}
$$
记作：$(y_1,y_2,cdots,y_n)=(x_1,x_2,cdots,x_n)$
其中$P=(p_{ij})_{n imes n}$
称$P$是由基$x_1,x_2,…,x_n$到基$y_1,y_2,cdots,y_n$的过渡矩阵
坐标变换公式
$$X=PY Rightarrow Y=P^{-1}X$$