半年前，偶然留意到一个奇怪的现象 1/3*3＝1 而 0.333...*3＝0.999... ，当中差了一个非常小的数 0.000...1。一直百思不得其解。
而最近发现更为离奇的是，2/5+3/5＝1，0.4+0.6＝1，这个在十进制中完美无懈，但是转换到二进制后（人工转换，不存在计算机符点数不精确的问题）
| 十进制分数 | 十进制小数 | 二进制分数 | 二进制小数 |
| 1/5 | 0.2 | 1/101 | 0.001100110011... |
| 2/5 | 0.4 | 10/101 | 0.0110011001100... |
| 3/5 | 0.6 | 11/101 | 0.1001100110011.. |
| 4/5 | 0.8 | 100/101 | 0.110011001100... |
| 5/5 | 1.0 | 101/101 | 0.111... 还是 1.0 ？？ |
同一个数在不同进制中居然不一样？
这就是一个很奇怪的问题了，为什么相同的数转换成小数后，不同的进制居然会出现不同的结果。那是不是说人类如果是以八进制或者十六进制的，那跟现在的十进制的科技发展都不一样了？？我们知道，十进制中，除数只含2和5因数的能够除尽，即不产生无限循环小数。而如果是二进制，则除数只含2才能除尽。（这里原因是跟小数点的移位相关，请自行百度不具体展开讲）这样的话不同的进制，就因为有的化为有限，有的化为无限，同样的数加起来结果却不相同。
同样的道理我们再回到1/3与0.333...的问题上，如果是使用三进制的话，1/3直接就等于0.1了，3*0.1＝1却完全正确。问题到底出在哪里呢？
1/3与0.333...
一步步来debug，我们先来看看 1/3化为小数0.333...这一步有没有问题。怎么看呢？我们日常的除法转换步骤因为太习以常了，很难发现其中有没有bug。那么就从结果反推吧
0.333... ＝ 0.3+0.03+0.003+...+0.00...3
= 3/10+3/100+...+3/10n
= 3*(1/10+1/100+1/1000+...1/10n)
= 3*( 10n-1/10n + 10n-2/10n + 10n-3/10n + ... +100/10n)
= 3*( ((10n - 1)/9 )/10n ) 等比求和公式
= 1/3 * (1-1/10n)
= 1/3 - 1/(3*10n) （n→∞）
意外地发现，原来0.333...其实并不等于1/3，也就是说我们在分数转换成小数的时候，对于无限循环小数的省约写法其实是有误差的！
具体误差在哪里？那就再仔细把小学学的除法演算一遍：
1÷3 ＝ 0.9÷3 + 0.1÷3
= 0.3 + 0.1÷3 ＝ 0.3+（0.09+0.01）÷3
= 0.33 + 0.01÷3 ＝ 0.33+（0.009+0.001）÷3
= 0.333 + 0.001÷3
= 。。。
而我们在除法取无限循环小数的时候，其实只是取了前半部分，后面的那项却被忽略了，后面那项是什么呢？仔细观察你会发现其实就是1/10n÷3 （n→∞）。
通过反推和正推，都发现确实是有bug存在。所以 3*0.333... ＝ 0.999... 其实是 3*[1/3 - 1/(3*10n)] ＝ 1-1/10n （n→∞）
这样就间接说明了0.999...≠1，而0.999... 与1所相差的 0.00...1 其实就是 1/10n （n→∞）
可能有人会问 1/10n（n→∞）是否等于0呢？
最简单粗暴但有争议的证明是 1/10n * 10n = 1，而0乘以任何数都等于0不可能等于1，所以1/10n不是0 。对此也有网友持不同意见，认为这里的乘法跟极限lim所定义的乘法（若函数a、b存在极限，则 lim(a)*lim(b) = lim(a*b) )的意义并不一样。而且就算定义一样，0*∞也不能使用极限的四则运算法则来运算，即 lim(1/10^n)*lim(10^n) = lim( 1/10^n * 10^n)并不成立。由于此问题暂无定论，在此暂定这个数是一个问号。
回顾到不同进制下数字的相加结果不同的问题，其实都是在转换成小数的时候人为所产生的误差。
引申问题：lim(1/x)*lim(x) (x→∞)是等于1吗？还是不能算？还是其它答案？(x→0)呢？x趋于其它值呢？
其他意见 及 我的反驳
有意思地在网上发现另外一些看法，并给出了看似无懈可击的反例。为节省不必要的重写，这里的 n 全部都在后面加上（n→∞），不再啰嗦。
1)大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：
令 x = 0.999...所以 10x = 9.999...两式相减得 9x = 9所以 x = 1
而 9.999... 等于 10-1/10n ， 这两者明显不相等，第二个所以就已经错了，最终结果当然也法得来。
2）”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“
0.999...与1之间有没有存在介于两者之间的值呢？化成极限表达式来看看，1-（1/10n) 与 1之间有没有，随手就能举一抄出来（把分母加大），中间是有无限个。那为什么从小数的形式没有看到呢？因为这已经在十进制小数的精度约束下了。为什么这么说呢？要是而弄成十六进制还有A到F呢。十六进制的0.FFF...，有没有比十进制的0.999...更接近1？要是100进制呢，更大的进制呢？
再从另外一个角度， 0.999...*2 ＝ 1.999...8 也就是 (1-1/10n)*2=2-2/10n。这与2之间没有存在一个值介于它们之间吗？显然有，1.999...也就是2-1/10n。如果说0.999...与1之间没有值，那为什么同乘以2之后就会有了呢？
至此，网上所流传的证明0.999...完全等于1，而没有1/10n的差别的证明全部被否决。现在只剩下最后的一个未解疑问，如何证明1/10n 等于或者不等于 0。
如果。。。
如果你十分确信1/10n（n→∞）就是 0 ，那么以上讨论对你都没有用了，因为这样认为的话那无论有没有这个数意义都是一样。这样的话就相当于确认了从分数到无限小数（如1/3 --> 0.333...） 的转化之间的 人为误差 对实际结果是没有任何影响的。疯狂的世界，谁知道呢？