HDU 3507：Print Article

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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

题目大意：给定$n$，$m$，输出序列$n$个数，每连续输出代价为连续输出的数字和的平方加上$m$.

斜率优化DP

定义$sum_{pq}=sum_{k=p+1}^qa_k=pre[q]-pre[p]$，其中$pre[]$维护的是前缀和.

直接DP：$dp[i]=min{dp[q]+sum_{qi}+m}(q<i)$，如此复杂度为$O(n^2)$，故需要优化.

设$p<q$，若从$q$转移而来比从$p$更优，则有$dp[q]+sum_{qi}+m<dp[p]+sum_{pi}+m$，

化简可得，$frac{(dp[q]+pre[q]^2)-(dp[p]+pre[p]^2)}{2pre[q]-2pre[p]}<pre[i]$.

定义映射$f$，使得$kxrightarrow{f} (2pre[k],dp[k]+pre[k]^2)$，$g[p,q]$为$f(p)$和$f(q)$两点的斜率，

则有，若$g[p,q]<pre[i]$，则$q$比$p$更优.

当$p<k<q$且$g[p,k]>g[k,q]$时，不难证明$k$一定不为最优：

当$g[k,q]<pre[i]$时，$q$比$k$更优；当$g[k,q]geqslant pre[i]$时，有$g[p,k]>pre[i]$，故$p$比$k$更优.

考虑$pre[i]$数列的单调性，我们只需维护一个斜率递增的队列即可.

by_barriery

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #define N 500005
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 int n,m,dp[N],a[N],pre[N],deq[N],r,f;
 6 int y(int n){return dp[n]+pre[n]*pre[n];}
 7 int x(int n){return 2*pre[n];}
 8 int main(void){
 9     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
10         r=-1,f=0;
11         deq[++r]=0;
12         for(int i=1;i<=n;++i){
13             scanf("%d",&a[i]);
14             pre[i]=pre[i-1]+a[i];
15         }
16         for(int i=1;i<=n;++i){
17             while(r-f>0){
18                 if(y(deq[f+1])-y(deq[f])
19                    <=pre[i]*(x(deq[f+1])-x(deq[f])))
20                     f++;
21                 else break;
22             }
23             dp[i]=dp[deq[f]]+(pre[i]-pre[deq[f]])*(pre[i]-pre[deq[f]])+m;
24             while(r-f>0){
25                 if((y(deq[r])-y(deq[r-1]))*(x(i)-x(deq[r]))
26                     >=(y(i)-y(deq[r]))*(x(deq[r])-x(deq[r-1])))
27                     r--;
28                 else break;
29             }
30             deq[++r]=i;
31         }
32         printf("%d
",dp[n]);
33     }
34 }