实验吧 大数模运算

实验吧 大数模运算

题目链接：http://www.shiyanbar.com/ctf/1906

题目大意：求$12345^{12345}$的所有约数之和，并对其取模$9901$再输出。

唯一分解定理+生成函数

对于任意一个数$a$，由唯一分解定理得$a=prod_{i=0}^k p_i^{c_i}$，

故由生成函数的定义可知，其约数之和为$S=prod_{i=0}^k (sum_{j=0}^{c_i} p_i^j)$.

而对于$a^n$，则有$a=prod_{i=0}^k p_i^{n imes c_i}$.

故其约数之和为$S'=prod_{i=0}^k (sum_{j=0}^{n imes c_i} p_i^j)$.

由等比数列求和公式即可求得答案.

代码如下：

#include <cstdio>
#define N 10005
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a=12345,n=12345,m=9901,p[N],c[N],k,ans=1;
ll minus(ll a,ll b){return (a-b+m)%m;}
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%m;}
ll powmod(ll a,ll n){
    ll r=1;
    while(n){
        if(n&1)r=mul(r,a);
        a=mul(a,a);
        n>>=1;
    }return r;
}
int main(void){
    for(int i=2;i*i<=a;++i)if(a%i==0){
        while(a%i==0){
            c[k]+=n;
            a/=i;
        }p[k++]=i;
    }
    if(m!=1){
        c[k]+=n;
        p[k++]=a;
    }
    for(int i=0;i<k;++i)
        ans=mul(ans,mul(minus(powmod(p[i],c[i]+1),1),powmod(p[i]-1,m-2)));
    printf("%lld
",ans);
}