差分格式

1. 重要概念

1.1 单调格式：

如果一个格式可以写成：(u_i^{n+1}=f(u_{i-p}^n,u_{i-p+1}^n, dots, u^n_{i+q}))的形式，并且对于每一个变元(u_k^n,k=i-p,i-p+1,dots,i+q)都有:

[frac{part f(u_{i-p}^n,u_{i-p+1}^n, dots, u^n_{i+q})}{part u_i^n}>0 ]

则该格式为单调格式。

一个典型的例子是：

[u_i^{n+1}=sum_k a_ku_{j+k}^n ]

当组合系数为正时（(a_k>0)）为单调格式。

1.2 保单调格式

设n时刻({u_i^n})是单调的，如果通过某个格式，得到n+1时刻的({u_i^{n+1}})也是单调的，则该格式为保单调格式。

1.3 TVD格式

总变差定义为：(TV=sum_i|u_{i+1}-u_i|)。

TVD格式定义为：满足条件(TV^{n+1}le TV^n)的格式。

1.3.1 Harten定理

如果一个三点格式，可以写成：

[u^{n+1}_i=u^n_i+C(u_{i+1}^n-u_i^n)-D(u_i^n-u_{i-1}^n) ]

且：(Cge0,quad Dge 0, quad C+Dle1)，则该格式为TVD格式。

1.3.2 构建TVD格式的思路

对原有格式进行改造：

原有格式=一阶迎风+修正项

TVD型格式=一阶迎风+限制器*修正项

限制器(psi=psi(r))，其中：

[r=frac{u_i-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}} ]

二阶精度范围：(1le psi(r) le r; 或者 r le psi(r)le 1)；

TVD范围：(0lepsi(r) le min(2,2r));

如图：

结论：

1. 常系数的单调格式只能是一阶精度。
2. 单调格式必是保单调格式。
3. 保单调格式必是TVD格式。
4. 对于线性格式（形如(u_i^{n+1}=sum_k a_ku_{j+k}^n)的格式），单调性和保单调性等价。