树（一）——线段树

问题

现在有1~30这30个数，数N被抽上的概率正比于1/sqrt(N+1)，求满足这个概率分布的随机数发生器。

思路

第一，如何解决这个“概率正比”问题。

第二，如何产生满足条件的随机数。

第三，有更好的方法吗？

 

一、解决“概率正比”问题

在概率论中有一个概念叫作“几何概型”，举个例子，如何求圆的面积？

先画一个正方形记作A，再在A中画内切圆B。现在随机在A上面撒豆子，落在A上的豆子总数为AN，落在B上的为BN。

那么，当豆子总数趋向无穷大时，正方形与圆的面积比率趋向于AN/BN。

也就是说，样本数量足够大时，面积比（几何比）近似于概率。

回到刚刚的问题，设数N被抽中的概率为PN，做一条直线，从原点出发，依次放上长为PN的线段LN（N从1到30），现在在L1~L30上随机撒豆子。假设LN上的豆子数为TN，那么TN之近似于PN之比，从而解决第一个问题。

二、产生满足要求的随机数

几何概型其实就是均匀分布要面积（长度、体积）分布的映射，而映射就是函数。

所以，这个随机数发生器的输入是随机数rand()，输出为题目所求，旨在求映射关系。

既然题目中的几何概型已被求出，那么产生相应随机数的基本步骤如下：

  1. set S=P1+P2+…P30，generate rand（0<=rand<S）
  2. for i=1 to 30 do:
  3.     if(rand<P(i)) return i
  4. end for

三、寻求优化的方法

上面的方法很简单，但是存在效率问题。

普通的if-else嵌套分支都可以转化为二叉查找树（if=1=left,else=0=right）。上述方法也如此，将其转化为二叉树之后，发现是一棵斜树。

斜树有个缺点，就是作为查找树效率低下，因此存在优化的空间。

对斜树而言：

  1. 考虑最优情况，只判断一次，O(1)
  2. 考虑最坏情况，全部判断一次，O(n)
  3. 考虑平均情况，折半n/2，O(n)

而对经典的二叉平衡树而言（折半查找）：

  1. 考虑最优情况，为深度，O(logn)
  2. 考虑最坏情况，为深度，O(logn)
  3. 考虑平均情况，为深度，O(logn)

由于是处理随机数，这里考虑平均情况，可知：二叉平衡树优于斜树。

    但是，有一个问题：二叉平衡树是用来查找数的，不是用来查找区间的，所以这里用不了平衡树。

    因此，作为查找区间的一种数据结构——区间树（也称线段树），就应运而生了。

    我这里设计的区间树属于2-3树（键数<=2，值数<=3），结合了广义表的设计思想（结点和数据共用）。

    由于数据源是排序过的，所以可以直接采用分治法构建树。（这是由于分组后的数据仍保持有序）

    注：

    • 打印的树结构设计参考自系统自带tree.exe的结果
    • 键和值的关系为，val0<key0<=val1<key1<=val2
    • 树的生成，以及分治产生的多余结点处理问题（分配不均等）的解决详见源码

    image

    源码

    源码：itvtree.cpp

    #include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <vector>

/************************************************************************/
/*     线段树/区间树                                                    */
/*     Interval Tree                                                    */
/************************************************************************/

typedef double TreeKeyType;

//实质是2-3平衡树
struct tree_node
{
    unsigned char type[4];//只用到type[3]，此是为了内存对齐
    TreeKeyType key[2];//2-键
    void* value[3];//3-值
};

#define TREE_NODE_UNUSED    0
#define TREE_NODE_VALUE     1
#define TREE_NODE_POINTER   2

#define TREE_NOT_FOUND        -1

#define TREE_PRINT_BLANK    0
#define TREE_PRINT_TRUNK    1
#define TREE_PRINT_BRANCH    2
#define TREE_PRINT_BRANCHD    3


//************************************
// Method:    递归构造线段树
// FullName:  tree_init_recursive
// Access:    public 
// Returns:   void*
// Qualifier:
// Parameter: TreeKeyType * s 数组指针（数据来源）
// Parameter: int count 当前处理的范围
// Parameter: int start 当前处理的位置
// Parameter: unsigned char * type 修改结点类型
//************************************
void* tree_init_recursive(TreeKeyType* s, int count, int start, unsigned char* type)
{
    //此递归调用函数的返回值可以为结点或真值，由type确定
    //树生成采用的是分治方法，当s数组分成3份，各自递归生成子树，再作为某个结点的孩子结点

    //注意：实际长度应为count+1

    tree_node* node;

    if (count == 0)//只有一个数时，只返回值类型，类比快排找中间轴（向中间逼近）
    {
        if (type)
            *type = TREE_NODE_VALUE;
        return (void*)start;//值
    }

    node = new(tree_node);
    if (type)
        *type = TREE_NODE_POINTER;//当前处理长度大于1，需生成新结点，返回结点类型

    switch (count)
    {
    case 1://当前处理的长度为2，type长度为2
        node->type[0] = TREE_NODE_VALUE;
        node->type[1] = TREE_NODE_VALUE;
        node->type[2] = TREE_NODE_UNUSED;
        node->key[0] = s[0];//只需一个键，即大于和小于
        node->value[0] = (void*)(start);
        node->value[1] = (void*)(start + 1);
        break;
    case 2://当前处理的长度为3，type长度为3
        node->type[0] = TREE_NODE_VALUE;
        node->type[1] = TREE_NODE_VALUE;
        node->type[2] = TREE_NODE_VALUE;
        node->key[0] = s[0];
        node->key[1] = s[1];//需要两个键，即大于上界、区间内、小于下界
        node->value[0] = (void*)(start);
        node->value[1] = (void*)(start + 1);
        node->value[2] = (void*)(start + 2);
        break;
    default://处理的长度大于3，采用分治
        int a = count / 3;//三等分
        switch (count % 3)//处理三等分多余的数
        {
        case 0://多一个
            //分组：
            //1)start+[0]->start+[a-1]
            //2)start+[a]->start+[2a]
            //3)start+[2a+1]->start+[3a]
            //长度：
            //1)a-1
            //2)a
            //3)a-1
            //键：
            //1)a-1
            //2)2a
            node->key[0] = s[a - 1];
            node->key[1] = s[a * 2];
            node->value[0] = tree_init_recursive(&s[0], a - 1, start, &node->type[0]);
            node->value[1] = tree_init_recursive(&s[a], a, start + a, &node->type[1]);
            node->value[2] = tree_init_recursive(&s[a * 2 + 1], a - 1, start + a * 2 + 1, &node->type[2]);
            break;
        case 1://多两个
            //分组：
            //1)start+[0]->start+[a-1]
            //2)start+[a]->start+[2a+1]
            //3)start+[2a+2]->start+[3a+1]
            //长度：
            //1)a-1
            //2)a+1
            //3)a-1
            //键：
            //1)a-1
            //2)2a+1
            node->key[0] = s[a - 1];
            node->key[1] = s[a * 2 + 1];
            node->value[0] = tree_init_recursive(&s[0], a - 1, start, &node->type[0]);
            node->value[1] = tree_init_recursive(&s[a], a + 1, start + a, &node->type[1]);
            node->value[2] = tree_init_recursive(&s[a * 2 + 2], a - 1, start + a * 2 + 2, &node->type[2]);
            break;
        case 2://不多
            //分组：
            //1)start+[0]->start+[a]
            //2)start+[a+1]->start+[2a+1]
            //3)start+[2a+2]->start+[3a+2]
            //长度：
            //1)a
            //2)a
            //3)a
            //键：
            //1)a
            //2)2a+1
            node->key[0] = s[a];
            node->key[1] = s[a * 2 + 1];
            node->value[0] = tree_init_recursive(&s[0], a, start, &node->type[0]);
            node->value[1] = tree_init_recursive(&s[a + 1], a, start + a + 1, &node->type[1]);
            node->value[2] = tree_init_recursive(&s[a * 2 + 2], a, start + a * 2 + 2, &node->type[2]);
            break;
        }
    }

    return (void*)node;
}

tree_node* tree_init(TreeKeyType* s, int count, int start)
{
    //初始化
    //给定线段各点坐标，构建树
    return (tree_node*)tree_init_recursive(s, count, start, NULL);
}

int tree_find_recursive(tree_node* node, TreeKeyType s)
{
    //当前结点类型为值就直接返回，否则递归调用
    if (s < node->key[0])//小于左键，双键小于或单键小于，找第一值
    {
        if (node->type[0] == TREE_NODE_VALUE)
            return (int)node->value[0];
        else if (node->type[0] == TREE_NODE_POINTER)
            return (int)tree_find_recursive((tree_node*)node->value[0], s);
        else
            return TREE_NOT_FOUND;
    }
    if (node->type[2] == TREE_NODE_UNUSED || s < node->key[1])//双键区间内部或单键大于，找第二值
    {
        if (node->type[1] == TREE_NODE_VALUE)
            return (int)node->value[1];
        else if (node->type[1] == TREE_NODE_POINTER)
            return (int)tree_find_recursive((tree_node*)node->value[1], s);
        else
            return TREE_NOT_FOUND;
    }
    {//双键大于，找第三值
        if (node->type[2] == TREE_NODE_VALUE)
            return (int)node->value[2];
        else if (node->type[2] == TREE_NODE_POINTER)
            return (int)tree_find_recursive((tree_node*)node->value[2], s);
        else
            return TREE_NOT_FOUND;
    }
}

int tree_find(tree_node* node, TreeKeyType s)
{
    if (!node) return TREE_NOT_FOUND;
    return tree_find_recursive(node, s);
}

int tree_size_recursive(tree_node* node)
{
    int size = 1;
    if (node->type[0] == TREE_NODE_POINTER)
        size += tree_size_recursive((tree_node*)node->value[0]);
    if (node->type[1] == TREE_NODE_POINTER)
        size += tree_size_recursive((tree_node*)node->value[1]);
    if (node->type[2] == TREE_NODE_POINTER)
        size += tree_size_recursive((tree_node*)node->value[2]);
    return size;
}

int tree_size(tree_node* node)
{
    if (!node) return 0;
    return tree_size_recursive(node);
}

void tree_destroy_recursive(tree_node* node)
{
    if (node->type[0] == TREE_NODE_POINTER)
        tree_destroy_recursive((tree_node*)node->value[0]);
    if (node->type[1] == TREE_NODE_POINTER)
        tree_destroy_recursive((tree_node*)node->value[1]);
    if (node->type[2] == TREE_NODE_POINTER)
        tree_destroy_recursive((tree_node*)node->value[2]);
    delete (node);
}

void tree_destroy(tree_node* node)
{
    if (!node) return;
    tree_destroy_recursive(node);
}

void tree_print_helper(const std::vector<int>& mark)
{
    for (auto m : mark)
    {
        switch (m)
        {
        case TREE_PRINT_BLANK:
            printf("        ");
            break;
        case TREE_PRINT_TRUNK:
            printf("│      ");
            break;
        case TREE_PRINT_BRANCH:
            printf("├───");
            break;
        case TREE_PRINT_BRANCHD:
            printf("└───");
            break;
        default:
            break;
        }        
    }    
}

void tree_print_recursive(tree_node* node, std::vector<int>& mark)
{
    if (node == NULL) return;
    tree_print_helper(mark);
    int last_branch = node->type[2] != TREE_NODE_UNUSED ? 2 :
        node->type[1] != TREE_NODE_UNUSED ? 1 : 0;
    if (last_branch == 2)
        printf("<%f, %f>
", node->key[0], node->key[1]);
    else
        printf("<%f>
", node->key[0]);
    int last_mark = *mark.rbegin();
    if (last_mark != TREE_PRINT_BLANK)
    {
        mark.pop_back();
        mark.push_back(last_mark == TREE_PRINT_BRANCHD ? TREE_PRINT_BLANK : TREE_PRINT_TRUNK);
    }
    for (int i = 0; i <= last_branch; i++)
    {
        if (last_branch == i)
        {
            mark.push_back(TREE_PRINT_BRANCHD);
        }
        else
        {
            mark.push_back(TREE_PRINT_BRANCH);
        }
        if (node->type[i] == TREE_NODE_POINTER)
        {
            tree_print_recursive((tree_node*)node->value[i], mark);
        }
        else if (node->type[i] == TREE_NODE_VALUE)
        {
            tree_print_helper(mark);
            printf("<%d>
", (int)node->value[i]);
        }
        if (last_branch != i)
        {
            mark.pop_back();
        }
    }
    mark.pop_back();
}

void tree_print(tree_node* node)
{
    if (!node) return;
    std::vector<int> mark;
    mark.push_back(TREE_PRINT_BLANK);
    tree_print_recursive(node, mark);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    //要求：对第i的页面的访问概率正比于1/sqrt(i+1)
    const int count = 30;
    const int tests = 10;
    TreeKeyType* sum = new TreeKeyType[count];
    sum[0] = 1;
    //sum[0]=1
    //sum[1]=sum[0]+1/sqrt(2)
    //sum[2]=sum[1]+1/sqrt(3)
    //...
    //sum[n-1]=sum[n-2]+1/sqrt(n)
    for (int i = 1; i < count; i++)
    {
        sum[i] = sum[i - 1] + (double)(1 / sqrt(i + 1));
    }
    TreeKeyType MaxRandValue = sum[count - 1] - 0.00001;
    tree_node* search_node = tree_init(sum, count, 0);
    printf("Search node size: %d
", tree_size(search_node) * sizeof(search_node));
    printf("========== tree ==========
");
    tree_print(search_node);
    printf("========== find ==========
");
    srand((unsigned int)time(NULL));
    for (int i = 0; i < tests; i++)
    {
        TreeKeyType rnd = rand() / double(RAND_MAX) * MaxRandValue;
        printf("key: %f, val: %d
", rnd, tree_find(search_node, rnd));
    }
    delete[] (sum);
    return 0;
}
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