hdu Fibonacci

Fibonacci

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列 (f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。 接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

Output

            输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

Sample Input

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

 

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

 

Author

daringQQ

 

Source

Happy 2007

 

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分析：解决此题关键有二：

1、斐波拉契数列的通项公式：：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}，（后半部分可省略）

u=(1+sqrt(5))/2
v=(1-sqrt(5))/2
那么Fibonacci数列A(n)的通向公式是A(n)=[u^n-v^n]/sqrt(5)。
u,v是方程x^2=x+1的两根，Fibonacci数列的递推公式是
A(n+2)=A(n+1)+A(n)
于是经简单变换有
[A(n+2)-uA(n+1)]=v[A(n+1)-uA(n)]
这个是等比数列，易得其通项为
A(n+2)-uA(n+1)=v^n[A(2)-uA(1)]
同理
A(n+2)-vA(n+1)=u^n[A(2)-vA(1)]
当成关于A(n+2)和A(n+1)的线性方程组解一下就有了。

2、求一个大数的前n位，对0取对数后取小数部分乘以10^（n-1）

#include<cstdio>
#include<cmath>
double gh = sqrt(5);
double u = (1 + gh) / 2;

int main() {
    int n;
    double ans;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if (n <= 20) {
            printf("%.0f\n", pow(u, n) / gh);
            continue;
        }
        ans = n * log10(u) - log10(gh);
        ans -= (long long) ans;
        printf("%d\n", (int) (pow(10, ans)*1000));
    }
    return 0;
}