我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...
对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。
样本回归模型：
其中ei为样本（Xi, Yi）的误差
平方损失函数：
则通过Q最小确定这条直线，即确定
，以
为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：
根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。
解得：
这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。
part2：
想了半天为啥叫最小二乘法，Least Square Method也不带这么翻译的吧。。
最小二乘法其实可以看成是一个最优化问题(好像什么问题都可以看成是最优化问题，只要你能形式化。)
一个简单的最小二乘法的例子就是Polynomial Curve Fitting(多项式曲线拟合)，就是用多项式来拟合一条曲线。转化成数学语言就是：我们有一条需要拟合的曲线t(x)，现在我们观察到了这条曲线上的n个点：
[(x1,t(x1)),(x2,t(x2)...(xn,t(xn))]
接下来我们要用一条多项式曲线
y(x,w)=w0+w1x+w2x2+...+wMxM
来拟合t(x)
最小二乘就是要最小化误差函数：
E(w)=∑ni=1(y(xi,w)−t(xi))2
python提供的库里面恰好就有做最小二乘的库，我们的t(x)选为sin(2πx)，并加上一个正态分布的小噪音干扰。然后用多项式分布去拟合。
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# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np #惯例
import scipy as sp #惯例
from scipy.optimize import leastsq #这里就是我们要使用的最小二乘的函数
import pylab as pl
m = 9 #多项式的次数
def real_func(x):
return np.sin(2*np.pi*x) #sin(2 pi x)
def fake_func(p, x):
f = np.poly1d(p) #多项式分布的函数
return f(x)
#残差函数
def residuals(p, y, x):
return y - fake_func(p, x)
#随机选了9个点，作为x
x = np.linspace(0, 1, 9)
#画图的时候需要的“连续”的很多个点
x_show = np.linspace(0, 1, 1000)
y0 = real_func(x)
#加入正态分布噪音后的y
y1 = [np.random.normal(0, 0.1) + y for y in y0]
#先随机产生一组多项式分布的参数
p0 = np.random.randn(m)
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))
print 'Fitting Parameters ：', plsq[0] #输出拟合参数
pl.plot(x_show, real_func(x_show), label='real')
pl.plot(x_show, fake_func(plsq[0], x_show), label='fitted curve')
pl.plot(x, y1, 'bo', label='with noise')
pl.legend()
pl.show()
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输出的拟合参数为：
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Fitting Parameters ： [ 6.33068152e+03 -2.44670137e+04 3.84443373e+04 -3.16226823e+04 1.46220505e+04 -3.77117680e+03 4.80788520e+02 -1.68548519e+01
-1.83073005e-01]
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输出的图像为：
然后很明显，绿色的线过拟合了。有心的读者应该早就发现了，以上例子是Pattern Reconnition and Machine Learning上的例子。看过这本书的人都应该还记得，接下来我们应该是要加上penalty term来控制过拟合的情况。误差函数变为了：
E(w)=∑ni=1(y(xi,w)−t(xi))2+λ∥w∥2
这个时候我们只需要改变下残差函数就行了：
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#残差函数
def residuals(p, y, x):
ret = y - fake_func(p, x)
ret = np.append(ret, np.sqrt(regularization)*p) #将lambda^(1/2)p加在了返回的array的后面
return ret
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设置好正则化系数后，图右：
很明显，我们的正则化约束起作用了。