凸函数与凹函数（convex / concave) zz

读文章和学习过程中经常会遇到concave,convex以及down,up的组合。怎样区分呢？

下面有一些摘自网络的定义，不同情况下应有不同的定义，以下仅供参考：

定义一：当四种都存在时：

上凹（convex upward）：y'>0 y''>0

下凹（convex downward）：y'<0 y''>0

上凸（convex upward）：y'>0 y''<0

下凸（convex downward）：y'<0 y''<0

定义二：在同济版《高等数学》中，只有凸（上凸）和凹（上凹）两种

此时以二阶导数定义

凹(上凹)， y''>0 （ $f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ），可见包括定义一中的上凹和下凹

凸（上凸），y''<0 （ $f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2$ ），可见包括定义一中的上凸和下凸

定义三：wiki上面的定义

英文wiki的定义和同济大学定义正好相反

convex， y''>0 （ $f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ）

concave，y''<0 （ $f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2$ ）

定义四：如果只有concave，没有convex时

concave upward（=定义三中的convex）：y=x^2

concave downward（=定义三中的concave）:y=-x^2

定义五：有些人说

convex up=concave down

convex down=concave up