题意：给你一棵树，边带权，支持两种操作：修改某条边的权值；查询两点之间的最短路。
lct主要实现单点修改和路径和。
修改x结点的值只需将x Splay到其所在辅助树的根，然后修改其值，再maintain一下即可。
路径和询问要这样做：
我们先 ACCESS(u), 然后在 ACCESS(v) 的过程中, 一旦 走到了包含根结点(也就是包含 u)的 Auxiliary Tree, 这时我们走到的结点恰好就是 u 和 v 的最近公共祖 先, 不妨称这个结点为 d. 这时 d 所在的 Auxiliary Tree 中 d 的右子树的 maxcost 即为 u 到 d 的路径的 最大边权, v 所在的 Auxiliary Tree 的 maxcost 则是 v 到 d 的路径的最大边权. 于是我们所求的答案就是 6 这两个 maxcost 中的最大值. 因为 Access 操作的均摊复杂度为 O(log n), 所以回答这个询问所花时间也 是 O(log n) 的.
Update：换了一种写法，能避免边权的鬼畜问题。即在每条边上添加一个虚点，权值为该边边权；而原先的所有点的点权置为零。这样虽然空间多了一倍，但是非常好处理了！（也即，询问可以用先ChangeRoot，再Access，再Splay，再询问左子树的方法了。）
代码更新在最下方。
<法一>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100005
int fa[maxn],c[maxn][2],siz[maxn];
bool is_root[maxn];
int val[maxn],totalval[maxn];
void Maintain(int x)
{
siz[x]=siz[c[x][0]]+siz[c[x][1]]+1;
totalval[x]=totalval[c[x][0]]+totalval[c[x][1]]+val[x];
}
void Rotate(int x,bool flag)
{
int y=fa[x];
c[y][!flag]=c[x][flag];
if(c[x][flag]){
fa[c[x][flag]]=y;
}
if(fa[y] && c[fa[y]][c[fa[y]][1]==y]==y){
c[fa[y]][c[fa[y]][1]==y]=x;
}
fa[x]=fa[y];
c[x][flag]=y;
fa[y]=x;
if(is_root[y]){
is_root[y]=0;
is_root[x]=1;
}
Maintain(y);
Maintain(x);
}
stack<int>st;
void Splay(int x)
{
if(!x || is_root[x]){
return;
}
int y;
while(y=fa[x],(!is_root[x])){
if(is_root[y]){
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
else{
if((c[y][0]==x)==(c[fa[y]][0]==y)){
Rotate(y,c[fa[y]][0]==y);
}
else{
Rotate(x,c[y][0]==x);
y=fa[x];
}
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
}
Maintain(x);
}
void Spla2(int x)
{
if(!x || is_root[fa[x]]){
return;
}
int y;
while(!is_root[y=fa[x]]){
if(is_root[fa[y]]){
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
else{
if((c[y][0]==x)==(c[fa[y]][0]==y)){
Rotate(y,c[fa[y]][0]==y);
}
else{
Rotate(x,c[y][0]==x);
y=fa[x];
}
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
}
Maintain(x);
}
void Access(int x){
int y;
Splay(x);
while(fa[x]){
y=fa[x];
Splay(y);
if(c[y][1]){
is_root[c[y][1]]=1;
}
is_root[x]=0;
c[y][1]=x;
Splay(x);
}
if(c[x][1]){
is_root[c[x][1]]=1;
c[x][1]=0;
}
}
int Calc(int x,int y){
if(x==y){
return 0;
}
Splay(y);
if(!fa[y]){
Spla2(x);
return totalval[c[x][0]]+val[x];
}
int z;
while(fa[y]){
z=fa[y];
Splay(z);
if(!fa[z]){
return totalval[c[z][1]]+totalval[y];
}
if(c[z][1]){
is_root[c[z][1]]=1;
}
is_root[y]=0;
c[z][1]=y;
Splay(y);
}
}
int n,m,cur;
int v[maxn<<1],nex[maxn<<1],first[maxn],w[maxn<<1],e;
void AddEdge(int U,int V,int W){
v[++e]=V;
w[e]=W;
nex[e]=first[U];
first[U]=e;
}
int bel[maxn];
bool vis[maxn];
void dfs(int U){
vis[U]=1;
for(int i=first[U];i;i=nex[i]){
if(!vis[v[i]]){
bel[i+1>>1]=v[i];
siz[v[i]]=1;
is_root[v[i]]=1;
val[v[i]]=totalval[v[i]]=w[i];
fa[v[i]]=U;
dfs(v[i]);
}
}
}
int main(){
int op,x,y,z;
// freopen("poj2763.in","r",stdin);
// freopen("poj2763.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&cur);
for(int i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
AddEdge(x,y,z);
AddEdge(y,x,z);
}
siz[1]=1;
is_root[1]=1;
dfs(1);
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d",&op,&x);
if(!op){
Access(x);
printf("%d
",Calc(x,cur));
cur=x;
}
else{
scanf("%d",&y);
Splay(bel[x]);
val[bel[x]]=y;
Maintain(bel[x]);
}
}
return 0;
}
<法二>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200005
int fa[maxn],c[maxn][2],siz[maxn];
bool is_root[maxn],delta[maxn];
int val[maxn],totalval[maxn];
void Mark(int x){
if(x){
delta[x]^=1;
}
}
void Maintain(int x)
{
siz[x]=siz[c[x][0]]+siz[c[x][1]]+1;
totalval[x]=totalval[c[x][0]]+totalval[c[x][1]]+val[x];
}
void pushdown(int x){
if(delta[x]){
Mark(c[x][0]);
Mark(c[x][1]);
swap(c[x][0],c[x][1]);
delta[x]=0;
}
}
void Rotate(int x,bool flag)
{
int y=fa[x];
c[y][!flag]=c[x][flag];
if(c[x][flag]){
fa[c[x][flag]]=y;
}
if(fa[y] && c[fa[y]][c[fa[y]][1]==y]==y){
c[fa[y]][c[fa[y]][1]==y]=x;
}
fa[x]=fa[y];
c[x][flag]=y;
fa[y]=x;
if(is_root[y]){
is_root[y]=0;
is_root[x]=1;
}
Maintain(y);
Maintain(x);
}
stack<int>st;
void Splay(int x)
{
pushdown(x);
if(!x || is_root[x]){
return;
}
int U=x;
while(!is_root[U]){
st.push(U);
U=fa[U];
}
st.push(U);
while(!st.empty()){
pushdown(st.top());
st.pop();
}
int y;
while(y=fa[x],(!is_root[x])){
if(is_root[y]){
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
else{
if((c[y][0]==x)==(c[fa[y]][0]==y)){
Rotate(y,c[fa[y]][0]==y);
}
else{
Rotate(x,c[y][0]==x);
y=fa[x];
}
Rotate(x,c[y][0]==x);
}
}
Maintain(x);
}
void Access(int x){
int y;
Splay(x);
while(fa[x]){
y=fa[x];
Splay(y);
Splay(x);
if(c[y][1]){
is_root[c[y][1]]=1;
}
is_root[x]=0;
c[y][1]=x;
Splay(x);
}
if(c[x][1]){
is_root[c[x][1]]=1;
c[x][1]=0;
}
}
void ChangeRoot(int x){
Access(x);
Splay(x);
Mark(x);
}
int QSum(int U,int V){
ChangeRoot(U);
Access(V);
Splay(V);
return val[V]+totalval[c[V][0]];
}
int v[maxn<<1],nex[maxn<<1],first[maxn],w[maxn<<1],e;
void AddEdge(int U,int V,int W){
v[++e]=V;
w[e]=W;
nex[e]=first[U];
first[U]=e;
}
int tot,bel[maxn];
void dfs(int U){
for(int i=first[U];i;i=nex[i]){
if(!siz[v[i]]){
bel[i+1>>1]=++tot;
siz[tot]=1;
is_root[tot]=1;
val[tot]=totalval[tot]=w[i];
fa[tot]=U;
siz[v[i]]=1;
is_root[v[i]]=1;
val[v[i]]=totalval[v[i]]=0;
fa[v[i]]=tot;
dfs(v[i]);
}
}
}
int n,m,cur;
int main(){
int op,x,y,z;
// freopen("poj2763.in","r",stdin);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&cur);
tot=n;
for(int i=1;i<n;++i){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
AddEdge(x,y,z);
AddEdge(y,x,z);
}
siz[1]=1;
is_root[1]=1;
dfs(1);
for(int i=1;i<=m;++i){
scanf("%d%d",&op,&x);
if(!op){
printf("%d
",QSum(x,cur));
cur=x;
}
else{
scanf("%d",&y);
Splay(bel[x]);
val[bel[x]]=y;
Maintain(bel[x]);
}
}
return 0;
}