Peaks
求n个排列中有恰好k个峰的方案数，模239
n<=1015,k<=30
题解
(f(i,j)) 表示填了 (1~ i) 有 (j) 个峰的方案数。
那么 (2jcdot f(i,j) ightarrow f(i+1,j))，((i+1-2j)cdot f(i,j) ightarrow f(i+1,j+1))。
于是转移可以写成矩阵形式。考虑系数 (i+1-2j) 怎么处理。发现由于模数很小，所以可以利用矩阵的周期性。
k和模数的大小提示找规律，事实上当 (kleq 30) 时，(f(n,k)=f(n+56882,k)~(mod 239))
CO int mod=239;
int f[56882][31];
int main(){
int n=read<LL>()%56882,k=read<int>();
f[1][1]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=k;++j)if(f[i][j]){
f[i+1][j]=(f[i+1][j]+2*j*f[i][j])%mod;
f[i+1][j+1]=(f[i+1][j+1]+(i+1-2*j)*f[i][j])%mod;
}
printf("%d
",f[n][k]);
return 0;
}
3401 石头游戏 0x30「数学知识」例题
描述
石头游戏在一个 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的网格上进行，每个格子对应一种操作序列，操作序列至多有10种，分别用0~9这10个数字指明。
操作序列是一个长度不超过6且循环执行、每秒执行一个字符的字符串。每秒钟，所有格子同时执行各自操作序列里的下一个字符。序列中的每个字符是以下格式之一：
- 数字0~9：表示拿0~9个石头到该格子。
- NWSE：表示把这个格子内所有的石头推到相邻的格子，N表示上方，W表示左方，S表示下方，E表示右方。
- D：表示拿走这个格子的所有石头。
给定每种操作序列对应的字符串，以及网格中每个格子对应的操作序列，求石头游戏进行了 t 秒之后，石头最多的格子里有多少个石头。在游戏开始时，网格是空的。
输入格式
第一行4个整数n, m, t, act。
接下来n行，每行m个字符，表示每个格子对应的操作序列。
最后act行，每行一个字符串，表示从0开始的每个操作序列。
输出格式
一个整数：游戏进行了t秒之后，所有方格中最多的格子有多少个石头。
样例输入
1 6 10 3 011112 1E E 0
样例输出
3
样例解释
这是另一个类似于传送带的结构。左边的设备0间隔地产生石头并向东传送。设备1向右传送，直到设备2。10秒后，总共产生了5个石头，2个在传送带上，3个在最右边。
分析
由于(le 6)的正整数的公倍数是60，所以每60秒操作序列一定会循环。那么考虑矩阵转移，预处理每秒转移矩阵和60秒的转移矩阵乘积，对(lfloor frac{t}{60} floor)做60秒的，(t mod 60)做单秒的。为了新增石头，增加一个节点来提供。
时间复杂度(O(60^3(log lfloor frac{t}{60} floor+t mod 60)))
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
rg T data=0,w=1;
rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch=='-') w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
ll f[70],d[70][70],e[70][70][70];
char b[20][20],s[100];
int n,m,t,act,p,a[20][20],c[20][20];
int num(int i,int j){
return (i-1)*m+j;
}
void mulself(ll a[70][70],ll b[70][70]){
static ll w[70][70];
memset(w,0,sizeof w);
for(int i=1;i<=p;++i)
for(int k=1;k<=p;++k) if(a[i][k])
for(int j=1;j<=p;++j)
w[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
memcpy(a,w,sizeof w);
}
void mul(ll a[70],ll b[70][70]){
static ll w[70];
memset(w,0,sizeof w);
for(int i=1;i<=p;++i)
for(int j=1;j<=p;++j)
w[i]+=a[j]*b[j][i];
memcpy(a,w,sizeof w);
}
int main(){
// freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
read(n),read(m),read(t),read(act);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s+1);
for(int j=1;j<=m;++j) a[i][j]=s[j]-'0'+1;
}
for(int i=1;i<=act;++i) scanf("%s",b[i]);
p=n*m+1;
for(int k=1;k<=60;++k){
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j){
int x=a[i][j],y=c[i][j];
if(isdigit(b[x][y])){
e[k][p][num(i,j)]=b[x][y]-'0';
e[k][num(i,j)][num(i,j)]=1;
}
else if(b[x][y]=='N'&&i>1) e[k][num(i,j)][num(i-1,j)]=1;
else if(b[x][y]=='W'&&j>1) e[k][num(i,j)][num(i,j-1)]=1;
else if(b[x][y]=='S'&&i<n) e[k][num(i,j)][num(i+1,j)]=1;
else if(b[x][y]=='E'&&j<m) e[k][num(i,j)][num(i,j+1)]=1;
c[i][j]=(y+1)%strlen(b[x]);
}
e[k][p][p]=1;
}
memcpy(d,e[1],sizeof e[1]);
for(int k=2;k<=60;++k) mulself(d,e[k]);
f[p]=1;
for(int w=t/60;w;w>>=1){
if(w&1) mul(f,d);
mulself(d,d);
}
for(int w=t%60,i=1;i<=w;++i) mul(f,e[i]);
ll ans=0;
for(int i=1;i<p;++i) ans=std::max(ans,f[i]);
printf("%lld
",ans);
return 0;
}