二分搜索

　　二分搜索法是通过不断缩小可能存在的范围，从而求得问题最优解的方法。

1. 从有序数组中查找某个值

　　给定长度为 n 的单调非递减数列 a₀......a_n，和一个数 k，求满足 a_i ≥ k 条件的最小的 i，不存在的情况下输出n。

int n, k;
int a[MAX_N];
// STL
    void solve() {
        int ans = *lower_bound(a, a + n, k);
        printf("%d
", ub);
    }
//
void solve() {
    //初始化解的范围
    int lb = -1, ub = n;
    //重复循环，直到解的范围不大于一
    while (ub - lb > 1) {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        // 如果mid满足条件，则解的存在范围变为（lb, mid] 
        if (a[mid] >= k)
            ub = mid;
        // 如果不满足，则解的范围变为（mid, ub] 
        else
            lb = mid;
    } 
    printf("%d
", ub);
}

　　求满足某个条件C(x)的最小的 x 这一问题。对于任意满足C(x) 的 x，如果所有的 x' ≥ x 也满足C（x'）的话，我们就可以用二分搜索来求得最小的 x。首先将区间的左端点初始化为不满足C(x)的值，右端点初始化为满足C(x) 的值，然后每次取中点 mid = （lb + ub）/ 2，判断 C（mid）是否满足并缩小范围，直到 ( lb, ub ] 足够小为止。最后 ub 就是需要求的最小值。

　　最大化的问题也可以用同样的方法求解。

2. 假定一个解并判断是否可行

　　这个问题用二分搜索可以非常容易地求得答案。让我们套用二分搜索的模型来解决这个问题。

　　令：条件 C(x) ：= 可以得到 K 条长度为 x 的绳子

　　则问题就变成了求满足 C（x）条件的最大的 x。在区间初始化时，只需要用充分大的数 INF 作为上界即可： lb = 0, ub = INF.

　　现在的问题是是否可以高效地判断 C(x)。由于长度为 L_i的绳子最多可切出 floor(L_i / x) 段长度为 x 的绳子，因此：

　　　　C(x) = （floor（L_i / x）的总和是否 ≥ K）

　　复杂度为 O（N）

int N, K;
double L[MAX_N];
//判断是否满足条件 
bool C(double x) {
    int num = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++)
        num += (int) (L[i] / x);
    return num >= K;
}

void solve() {
    //初始化解的范围
    double lb = 0, ub = INF;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double mid = (lb + ub) / 2;
        if (C(mid))
            lb = mid;
        else
            ub = mid;
    } 
    printf("%.2f
", floor(ub * 100) / 100);
}

　　像这样，如果在求解最大化或最小化问题中，能够比较简单地判断条件是否满足，那么使用二分搜索法就可以很好地解决问题。

二分搜索法的结束判定

　　在输出小数的问题中，一般都会指定允许的误差范围或者是指定输出中小数点后面的位数。因此在使用二分搜索法时，有必要设置合理的结束条件来满足精度要求。在上面的程序中，我们指定了循环次数作为终止条件。一次循环可以把区间范围缩小一半，也可以把终止条件设为像（ub - lb ） > EPS 这样，指定一个区间大小。在这种情况下，如果 EPS 取值太小，就可能会因为浮点数精度的原因导致陷入死循环，要小心。

3. 最大化最小值

　　类似的最大化最小值或者最小化最大值的问题，通常用二分搜索就可以很好地解决。

　　定义: C（d）：= 可以安排牛的位置使得最近的两头牛的距离不小于 d

　　那么问题就变成了求满足 C（d）的最大的 d。另外，最近的间距不小于 d 也可以说成是所有牛的间距都不小于 d，因此就有

　　C（d）= 可以安排牛的位置使得任意的牛的间距都不小于 d

　　这个问题的判断可以使用贪心法就可以非常任意地求解：

　　　　对牛舍的位置 x 进行排序；

　　　　把第一头牛放进 x₀ 的牛舍；

　　　　如果第 i 头牛放入了 x_j 的话，第 i + 1 头牛就要放入满足 x_j + d ≤ x_k 的最小的 x_k 中；

　　每一次判断对每头牛最多进行一次处理，因此复杂度为 O（N）。

int N, M;
int x[MAX_N];

bool C(int d) {
    int last = 0;
    for (int i = 1; i < M; i++) {
        int crt = last + 1;
        while(crt < N && x[crt] - x[last] < d)
            crt++;
        if (crt == N) return false;
        last = crt;
    }
    return true;
} 

void solve() {
    sort(x, x + N);
    int lb = 0, ub = INF;
    while (ub - lb > 1) {
        int mid = (lb + ub) / 2;
        if (C(mid)) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    printf("%d
", lb);
}

4. 最大化平均值

　　一般最先想到的方法是把物品按照单位价值排序，从小到大贪心地进行选取。但是这个方法是不可行的。实际上用二分搜索可以很好地解决。

　　定义：条件 C（x）：= 可以选择使得单位重量的价值不小于 x

　　因此原问题就变成求满足 C（x）的最大的 x。那么该如何判断 C（x）是否可行？假设我们选了某个物品的集合 S，那么它们的单位重量的价值是

　　因此就变成了判断是否存在 S 满足下面条件

　　变形得

　　因此，可以对（v_i - x * w_i）的值进行排序贪心地进行选取。因此就变成了

　　　　C（x）= （（v_i - x * w_i）从大到小排列中的前 k 个和不小于 0）

　　每次判断的复杂度是O(n log n)。

int n, k;
int w[MAX_N], v[MAX_N];
double y[MAX_N]; // v - x * w

bool C(double x) {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        y[i] = v[i] - x * w[i];
    sort(y, y + n);
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++)
        sum += y[n - i - 1];
    return sum >= 0;
}
void solve() {
    double lb = 0, ub = INF;
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        double mid = (lb + ub) / 2;
        if (C(mid)) lb = mid;
        else ub = mid;
    }
    printf("%.2f
", ub);
}