一些数学结论

一些数学结论

阿贝尔变换

$\sum_{i=m}^nf_k(g_{k+1}-g_k) =[f_{n+1}g_{n+1}-f_mg_m]-\sum_{k=m}^ng_{k+1}(f_{k+1}-f_k)$

可以讲A数组与B数组差分数组的乘积转换为A数组差分数组与B数组的成积。（2018HDU多校1 1007）

Freshman's Dream

$(x+y)^p =x^p + y^p$ 当x和y在特征为p的交换环中。例如模p意义下的加法。

$(\sum_{i=0}^\infty a_ix^i)^2\equiv \sum_{i=0}^\infty a_ix^{2i}(mod\ 2)$ （2018HDU多校2 1008）

杜教筛

设 $S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$ ， $f(i)$ 是一个数论函数。

$\forall$ 数论函数 $g(i)$ ，设 $h=f*g$ ，则 $\sum_{i=1}^nh(i)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$ 。

移项得 $g(1)S(n) =\sum_{i =1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$ 。

如果可以 $O(\sqrt{n})$ 计算 $\sum_{i=1}^nh(i)$ ， $O(1)$ 计算 $\sum_{i=1}^ng(i)$ ，那么可以快速递归求解，复杂度为 $O(\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor})\approx O(n^{\frac{3}{4}})$ 。

如果 $f(i)$ 是积性函数，我们可以用欧拉筛法求出前 $n^{\frac{2}{3}}$ 项，更后面的再递归处理，复杂度为 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 。

一些常见狄利克雷卷积

· $\sigma_0(n^2)=\sum_{d|n}2^{\omega(d)}$ ，其中 $\sigma_k(n)$ 表示n的约数的k次幂之和， $\omega(n)$ 表示n的质因子个数。

· $f(n)=\phi(n)\ \ \ \ g(n)=n\ \ \ h=f*g=\sum_{d|n}\phi(d)*\frac{n}{d}=n$

一些莫比乌斯函数恒等式

$2^{\omega(n)} = \sum_{d|n}\mu^2(d)$

$\mu^2(d)=\sum_{k^2|d}\mu(k)$

RNG_58 -clj等式

$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^cd(ijk)=\sum_{gcd(i,j)=gcd(j,k)=gcd(i,k)=1}\lfloor\frac{a}{i}\rfloor\lfloor\frac{b}{j}\rfloor\lfloor\frac{c}{k}\rfloor$

一些组合数学结论

N个不同的点可以构成的不同的树的个数是N^(N-2).

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