相比于监督学习，非监督学习的输入数据没有标签信息，需要通过算法模型来挖掘数据内在的结构和模式。非监督学习主要包含两大类学习方法：数据聚类和特征变量关联。其中，聚类算法往往是通过多次迭代来找到数据的最优分割，而特征变量关联则是利用各种相关性分析方法来找到变量之间的关系。
01 K均值聚类
与分类问题不同，聚类是在事先并不知道任何样本类别标签的情况下，通过数据之间的内在关系把样本划分为若干类别，使得同类别样本之间的相似度高，不同类别之间的样本相似度低。
分类问题属于监督学习的范畴，而聚类则是非监督学习。K均值聚类（K-Means Clustering）是最基础和最常用的聚类算法。它的基本思想是，通过迭代方式寻找K个簇（Cluster）的一种划分方案，使得聚类结果对应的代价函数最小。特别地，代价函数可以定义为各个样本距离所属簇中心点的误差平方和
其中x i 代表第i个样本，c i 是x i 所属于的簇，μ ci 代表簇对应的中心点，M是样本总数。
Q1:简述K均值算法的具体步骤。
A1:K均值聚类的核心目标是将给定的数据集划分成K个簇，并给出每个数据对应的簇中心点。算法的具体步骤描述如下：
（1）数据预处理，如归一化、离群点处理等。
（2）随机选取K个簇中心，记为
。
（3）定义代价函数： 
（4）令t=0,1,2,… 为迭代步数，重复下面过程直到 J 收敛：
Q2: K均值算法的优缺点是什么？如何对其进行调优？
A2: K均值算法有一些缺点，例如受初值和离群点的影响每次的结果不稳定、结果通常不是全局最优而是局部最优解、无法很好地解决数据簇分布差别比较大的情况（比如一类是另一类样本数量的100倍）、不太适用于离散分类等。但是瑕不掩瑜，K均值聚类的优点也是很明显和突出的，主要体现在：对于大数据集，K均值聚类算法相对是可伸缩和高效的，它的计算复杂度是O(NKt)接近于线性，其中N是数据对象的数目，K是聚类的簇数，t是迭代的轮数。尽管算法经常以局部最优结束，但一般情况下达到的局部最优已经可以满足聚类的需求。
K均值算法的调优一般可以从以下几个角度出发。
（1）数据归一化和离群点处理。
K均值聚类本质上是一种基于欧式距离度量的数据划分方法，均值和方差大的维度将对数据的聚类结果产生决定性的影响，所以未做归一化处理和统一单位的数据是无法直接参与运算和比较的。同时，离群点或者少量的噪声数据就会对均值产生较大的影响，导致中心偏移，因此使用K均值聚类算法之前通常需要对数据做预处理。
（2）合理选择K值。
K值的选择是K均值聚类最大的问题之一，这也是K均值聚类算法的主要缺点。实际上，我们希望能够找到一些可行的办法来弥补这一缺点，或者说找到K值的合理估计方法。但是，K值的选择一般基于经验和多次实验结果。例如采用手肘法,Gap Statistic方法
（3）采用核函数。
采用核函数是另一种可以尝试的改进方向。传统的欧式距离度量方式，使得K均值算法本质上假设了各个数据簇的数据具有一样的先验概率，并呈现球形或者高维球形分布，这种分布在实际生活中并不常见。面对非凸的数据分布形状时，可能需要引入核函数来优化，这时算法又称为核K均值算法，是核聚类方法的一种。核聚类方法的主要思想是通过一个非线性映射，将输入空间中的数据点映射到高位的特征空间中，并在新的特征空间中进行聚类。非线性映射增加了数据点线性可分的概率，从而在经典的聚类算法失效的情况下，通过引入核函数可以达到更为准确的聚类结果。
Q3:针对K均值算法的缺点，有哪些改进的模型？
A3:
K均值算法的主要缺点如下。
（1）需要人工预先确定初始K值，且该值和真实的数据分布未必吻合。
（2）K均值只能收敛到局部最优，效果受到初始值很大。
（3）易受到噪点的影响。
（4）样本点只能被划分到单一的类中。
改进: K-means++算法, ISODATA算法
Q4:证明K均值算法的收敛性。
A4:看书
首先，我们需要知道K均值聚类的迭代算法实际上是一种最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm），简称EM算法。EM算法解决的是在概率模型中含有无法观测的隐含变量情况下的参数估计问题。
02 高斯混合模型
高斯混合模型（Gaussian Mixed Model，GMM）也是一种常见的聚类算法，与K均值算法类似，同样使用了EM算法进行迭代计算。高斯混合模型假设每个簇的数据都是符合高斯分布（又叫正态分布）的，当前数据呈现的分布就是各个簇的高斯分布叠加在一起的结果。
Q: 高斯混合模型的核心思想是什么？它是如何迭代计算的？
A:
高斯混合模型是一个生成式模型。可以这样理解数据的生成过程，假设一个最简单的情况，即只有两个一维标准高斯分布的分模型N(0,1)和N(5,1)，其权重分别为0.7和0.3。那么，在生成第一个数据点时，先按照权重的比例，随机选择一个分布，比如选择第一个高斯分布，接着从N(0,1)中生成一个点，如−0.5，便是第一个数据点。在生成第二个数据点时，随机选择到第二个高斯分布N(5,1)，生成了第二个点4.7。如此循环执行，便生成出了所有的数据点。
然而，通常我们并不能直接得到高斯混合模型的参数，而是观察到了一系列数据点，给出一个类别的数量K后，希望求得最佳的K个高斯分模型。因此，高斯混合模型的计算，便成了最佳的均值μ，方差Σ、权重π的寻找，这类问题通常通过最大似然估计来求解。遗憾的是，此问题中直接使用最大似然估计，得到的是一个复杂的非凸函数，目标函数是和的对数，难以展开和对其求偏导。
在这种情况下,可以用上一节已经介绍过的EM算法框架来求解该优化问题。EM算法是在最大化目标函数时，先固定一个变量使整体函数变为凸优化函数，求导得到最值，然后利用最优参数更新被固定的变量，进入下一个循环。具体到高斯混合模型的求解，EM算法的迭代过程如下。
首先，初始随机选择各参数的值。然后，重复下述两步，直到收敛。
（1）E步骤。根据当前的参数，计算每个点由某个分模型生成的概率。
（2）M步骤。使用E步骤估计出的概率，来改进每个分模型的均值，方差和权重。
也就是说，我们并不知道最佳的K个高斯分布的各自3个参数，也不知道每个数据点究竟是哪个高斯分布生成的。所以每次循环时，先固定当前的高斯分布不变，获得每个数据点由各个高斯分布生成的概率。然后固定该生成概率不变，根据数据点和生成概率，获得一个更佳的高斯分布。循环往复，直到参数不再变化，或者变化非常小时，便得到了比较合理的一组高斯分布。
高斯混合模型与K均值算法的相同点是，它们都是可用于聚类的算法；都需要指定K值；都是使用EM算法来求解；都往往只能收敛于局部最优。而它相比于K均值算法的优点是，可以给出一个样本属于某类的概率是多少；不仅仅可以用于聚类，还可以用于概率密度的估计；并且可以用于生成新的样本点。
03 自组织映射神经网络
自组织映射神经网络（Self-Organizing Map，SOM）是无监督学习方法中一类重要方法，可以用作聚类、高维可视化、数据压缩、特征提取等多种用途。在深度神经网络大为流行的今天，谈及自组织映射神经网络依然是一件非常有意义的事情，这主要是由于自组织映射神经网络融入了大量人脑神经元的信号处理机制，有着独特的结构特点。
Q1 :自组织映射神经网络是如何工作的？它与K均值算法有何区别？
Q2：怎样设计自组织映射神经网络并设定网络训练参数？
04 聚类算法的评估
Q：以聚类问题为例，假设没有外部标签数据，如何评估两个聚类算法的优劣？