Leetcode Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

解题思路：

O（logn）解法：

考虑n!的质数因子。后缀0总是由质因子2和质因子5相乘得来的。如果我们可以计数2和5的个数，问题就解决了。考虑下面的例子：

n = 5: 5!的质因子中 (2 * 2 * 2 * 3 * 5)包含一个5和三个2。因而后缀0的个数是1。

n = 11: 11!的质因子中(2^8 * 3^4 * 5^2 * 7)包含两个5和三个2。于是后缀0的个数就是2。

我们很容易观察到质因子中2的个数总是大于等于5的个数。因此只要计数5的个数就可以了。那么怎样计算n!的质因子中所有5的个数呢？一个简单的方法是计算floor(n/5)。例如，7!有一个5，10!有两个5。除此之外，还有一件事情要考虑。诸如25，125之类的数字有不止一个5。例如，如果我们考虑28!，我们得到一个额外的5，并且0的总数变成了6。处理这个问题也很简单，首先对n÷5，移除所有的单个5，然后÷25，移除额外的5，以此类推。下面是归纳出的计算后缀0的公式。

n!后缀0的个数 = n!质因子中5的个数

= floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ....

特别注意：用i 表示被除数，在循环过程中，随着i = i *5, 最终i 很可能会超过MAX_INTEGER, 一定要考虑溢出问题，因此i 必须为long型

Java code:

 public int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        for(long i = 5; i <= n; i = i * 5){
            count += n/i;
        }
        return count;
    }

Reference:

1. http://bookshadow.com/weblog/2014/12/30/leetcode-factorial-trailing-zeroes/

2. http://www.programcreek.com/2014/04/leetcode-factorial-trailing-zeroes-java/