ACM学习历程—HDU 3949 XOR（xor高斯消元）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3949

题目大意是给n个数，然后随便取几个数求xor和，求第k小的。（重复不计算）

首先想把所有xor的值都求出来，对于这个规模的n是不可行的。

然后之前有过类似的题，求最大的，有一种方法用到了线性基。

那么线性基能不能表示第k大的呢？

显然，因为线性基可以不重复的表示所有结果。它和原数组是等价的。

对于一个满秩矩阵

100000

010000

001000

000100

000010

000001

可以看出来最小的就是1，次小的是2，后面以此就是3，4，5，6....2^6-1.

可以看出来，每个向量基，都有取或者不取两种选择，而且把k二进制拆开来后，第i位就表示第i小的向量基取不取（1取，0不取）。

因为保证了第k大的基总大于比他小的基的线性组合。

此外，需要对非满秩的矩阵进行特判。因为其存在0的结果，如果要求最小，那么就是0。如果不是，那么就是求当前矩阵下的第(k-1)小。

然后接下来求的时候，需要对不存在的情况特判，因为每个数都有取或不取，即2^row-1种，除去全不取的情况。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#define LL long long

using namespace std;

//xor高斯消元求线性基
//时间复杂度O(63n)
const int maxN = 10005;
LL a[maxN];
int n;

int xorGauss(int n)//可以用来解模二的方程，加快速度
{
    int row = 0;
    for (int i = 62; i >= 0; i--)
    {
        int j;
        for (j = row; j < n; j++)
            if(a[j]&((LL)1<<i))
                break;
        if (j != n)
        {
            swap(a[row], a[j]);
            for (j = 0; j < n; j++)
            {
                if(j == row) continue;
                if(a[j]&((LL)1<<i))
                    a[j] ^= a[row];
            }
            row++;
        }
    }
    return row;
}

void input()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%I64d", &a[i]);
}

LL findK(int row, int k)
{
    if (row < n)
    {
        if (k == 1)
            return 0;
        else k--;
    }
    if (k >= (LL)1<<row)
        return -1;
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < 63; i++)
    {
        if (k&((LL)1<<i))
            ans ^= a[row-i-1];
    }
    return ans;
}

void work()
{
    int row, q;
    LL k, ans;
    row = xorGauss(n);
    scanf("%d", &q);
    for (int i = 0; i < q; ++i)
    {
        scanf("%I64d", &k);
        ans = findK(row, k);
        printf("%I64d
", ans);
    }
}

int main()
{
    //freopen("test.in", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int times = 0; times < T; ++times)
    {
        printf("Case #%d:
", times+1);
        input();
        work();
    }
}