数据标准化

1 为何需要标准化

有的数据，不同维度的数量级差别较大，导致有的维度会主导整个分析过程。如下图所示：

该图的数据维度\(d=30\)，样本量\(n=40\)，上面的图是对原始数据做PCA后，第一个PC在各个维度上的权重的平行坐标图，下面的图则是对数据做标准化之后的情况。可以发现，在原始数据中，第\(4\)和\(24\)个维度的权重非常大。如果其他的维度也包含了重要的信息，而我们只取第一个PC做研究，可能就会造成信息损失。

2 如何标准化

那该如何预处理数据？一般而言有两种处理方法。

2.1 Scale

常见的一种方法就是对数据做scale，如我们知道数据的总体为\(x\sim (\mu,\Sigma)\)，那么可以将\(\Sigma\)的对角线元素单独取出做成一个对角矩阵\(\Sigma_\text{diag}\)，然后定义

\[x_\text{scale}=\Sigma_\text{diag}^{-1/2}(x-\mu) \]

这样做的好处显而易见，在做完scale后，我们有

\[\text{Var}(x_\text{scale}) = \Sigma_\text{diag}^{-1/2}\Sigma\Sigma_\text{diag}^{-1/2}=R \]

这里的\(R\)就是\(x\)的各维度的相关系数矩阵。

对于样本数据\(X\sim \text{Sample}(\bar x, S)\)来说，也可做同样的处理：

\[X_\text{scale}=S_\text{diag}^{-1/2}(X-\bar x\ell_n') \]

同样地，在经过scale后，样本数据的协方差矩阵也变成了相关系数矩阵\(R_S=S_\text{diag}^{-1/2}SS_\text{diag}^{-1/2}\)。

2.2 Sphere

另一种预处理数据的方法是将数据“球形化”（sphere）。即对于总体数据\(x\)，可以做

\[x_{\Sigma}=\Sigma^{-1/2}(x-\mu) \]

对于样本数据\(X\)，也同样可以做

\[X_S=S^{-1/2}(X-\bar x\ell_n') \]

这样做会有什么效果？显然，处理后的协方差矩阵会变为

\[\text{Var}(x_{\Sigma}) = \Sigma^{-1/2}\Sigma\Sigma^{-1/2}=I_d \]

即我们把各维度之间的相关性也处理掉了。

如果\(\text{rank}(\Sigma)=r\lt d\)，\(\Sigma^{-1/2}\)就不存在，此时可以用

\[x_{\Sigma}=\Gamma_r \Lambda_r^{-1/2} \Gamma_r'(x-\mu) \]

对于样本数据也类似。

3 何时需要标准化？

对于这个问题，没有定论。因为数据标准化不影响理论结果。一般来说，如果各个维度是可比的，就不需要标准化，如果不可比，并且我们对量级非常大的数据没有特别的研究偏好，那就需要做标准化。

参考文献

Koch, Inge. Analysis of multivariate and high-dimensional data. Cambridge University Press, 2013.