已知 $f(x)=|x^3+ax+b| (a,binmathbb R)$，若对任意的 $x_1,x_2in[0,1]$，$f(x_1)-f(x_2)leq 2|x_1-x_2|$
恒成立，则 $a$ 的取值范围是_______
【解答】 令 $g(x)=x^3+ax+b$，存在 $delta_1,delta_2in(0,1)$，使得 $g(x)$ 在 $[0,delta_1]$ 和 $[delta_2,1]$ 上不变号.
根据题意，对任意的 $x_1,x_2in[0,delta_1]$ 且 $x_1 e x_2$，都有
[ left|frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} ight|=left|frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} ight|]
[=|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a|leq 2]
令 $x_1=0,x_2 o0$，得 $ageq-2$.
同理，对任意的 $x_1,x_2in[delta_2,1]$ 且 $x_1 e x_2$，都有
[|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a|leq 2,]
令 $x_2=1,x_1 o1$，得 $aleq-1$.
另一方面，当 $-2leq aleq -1$ 时，对任意的 $x_1,x_2in[0,1]$，都有
[f(x_1)-f(x_2)leq |x_1^3+ax_1+b-x_2^3-ax_2-b)|]
[=|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a||x_1-x_2|leq 2|x_1-x_2|.]
所以 $a$ 的取值范围为 $[-2,-1]$.