伸展树
一、简介：
伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。
二、自调整和均摊分析：
平衡查找树的一些限制：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
平衡查找树可以考虑提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。
三、均摊时间边界：
在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。
为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：
旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：
为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。
下图展示了将节点3旋转到根：
图1
首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。
注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！
四、基本的自底向上伸展树：
应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。
在旋转的时候，可以分为三种情况：
1、zig情况。
X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：
图2
这和一个普通的单旋转相同。
2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。
如图所示：
图三
3、zig-zig情况。
这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。
如图所示：
图四
下面是splay的伪代码：
P(X) : 获得X的父节点，G(X) : 获得X的祖父节点（=P(P(X))）。
Function Buttom-up-splay:
Do
If X 是 P(X) 的左子结点 Then
If G(X) 为空 Then
X 绕 P（X）右旋
Else If P（X）是G（X）的左子结点
P(X) 绕G(X)右旋
X 绕P(X)右旋
Else
X绕P(X)右旋
X绕P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
Endif
Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
If G(X) 为空 Then
X 绕 P（X）左旋
Else If P（X）是G（X）的右子结点
P(X) 绕G(X)左旋
X 绕P(X)左旋
Else
X绕P(X)左旋
X绕P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
Endif
Endif
While (P(X) != NULL)
EndFunction
仔细分析zig-zag，可以发现，其实zig-zag就是两次zig。因此上面的代码可以简化：
Function Buttom-up-splay:
Do
If X 是 P(X) 的左子结点 Then
If P（X）是G（X）的左子结点
P(X) 绕G(X)右旋
Endif
X 绕P(X)右旋
Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
If P（X）是G（X）的右子结点
P(X) 绕G(X)左旋
Endif
X 绕P(X)左旋
Endif
While (P(X) != NULL)
EndFunction
下面是一个例子，旋转节点c到根上。
图五
五、基本伸展树操作：
1、插入：
当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
首先执行查找最小的操作。
这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
首先执行查找最大的操作。
删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
将要删除的节点移至根。
删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
使R成为L的根的右子树。
如下图示：
图六
六、自顶向下的伸展树：
在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
1、zig：
图七
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。
2、zig-zig:
图八
在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
图九
在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
图十
将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
下面给出伪代码：
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
T ： 当前的根节点。
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 等于 T 的左子结点 Then
右连接
ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then
T的左子节点绕T右旋
右连接
Else X大于 T 的左子结点 Then
右连接
左连接
EndIf
ElseIf X大于 T Then
IF X 等于 T 的右子结点 Then
左连接
ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then
T的右子节点绕T左旋
左连接
Else X小于 T 的右子结点‘ Then
左连接
右连接
EndIf
EndIf
While ！(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFunction
同样，上面的三种情况也可以简化：
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 小于 T 的左孩子 Then
T的左子节点绕T右旋
EndIf
右连接
Else If X大于 T Then
If X 大于 T 的右孩子 Then
T的右子节点绕T左旋
EndIf
左连接
EndIf
While !(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFuntion
下面是一个查找节点19的例子：
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
这个例子是查找节点c：
最后，给一个用C语言实现的例子：
/*
An implementation of top-down splaying
D. Sleator <sleator@cs.cmu.edu>
March 1992
*/
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
int size; /* number of nodes in the tree */
/* Not actually needed for any of the operations */
typedef struct tree_node Tree;
struct tree_node
{
Tree * left, * right;
int item;
};
Tree * splay (int i, Tree * t)
{
/* Simple top down splay, not requiring i to be in the tree t. */
/* What it does is described above. */
Tree N, *l, *r, *y;
if (t == NULL)
return t;
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (i < t->item)
{
if (t->left == NULL)
{
break;
}
if (i < t->left->item)
{
y = t->left; /* rotate right */
t->left = y->right;
y->right = t;
t = y;
if (t->left == NULL)
{
break;
}
}
r->left = t; /* link right */
r = t;
t = t->left;
}
else if (i > t->item)
{
if (t->right == NULL)
{
break;
}
if (i > t->right->item)
{
y = t->right; /* rotate left */
t->right = y->left;
y->left = t;
t = y;
if (t->right == NULL)
{
break;
}
}
l->right = t; /* link left */
l = t;
t = t->right;
}
else
{
break;
}
}
l->right = t->left; /* assemble */
r->left = t->right;
t->left = N.right;
t->right = N.left;
return t;
}
/* Here is how sedgewick would have written this. */
/* It does the same thing. */
Tree * sedgewickized_splay (int i, Tree * t)
{
Tree N, *l, *r, *y;
if (t == NULL)
{
return t;
}
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (i < t->item)
{
if (t->left != NULL && i < t->left->item)
{
y = t->left;
t->left = y->right;
y->right = t;
t = y;
}
if (t->left == NULL)
{
break;
}
r->left = t;
r = t;
t = t->left;
}
else if (i > t->item)
{
if (t->right != NULL && i > t->right->item)
{
y = t->right;
t->right = y->left;
y->left = t;
t = y;
}
if (t->right == NULL)
{
break;
}
l->right = t;
l = t;
t = t->right;
}
else
{
break;
}
}
l->right=t->left;
r->left=t->right;
t->left=N.right;
t->right=N.left;
return t;
}
Tree * insert(int i, Tree * t)
{
/* Insert i into the tree t, unless it's already there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
Tree * new1;
new1 = (Tree *) malloc (sizeof (Tree));
if (new1 == NULL)
{
printf("Ran out of space
");
exit(1);
}
new1->item = i;
if (t == NULL)
{
new1->left = new1->right = NULL;
size = 1;
return new1;
}
t = splay(i,t);
if (i < t->item)
{
new1->left = t->left;
new1->right = t;
t->left = NULL;
size ++;
return new1;
}
else if (i > t->item)
{
new1->right = t->right;
new1->left = t;
t->right = NULL;
size++;
return new1;
}
else
{
/* We get here if it's already in the tree */
/* Don't add it again */
free(new1);
return t;
}
}
Tree * delete1(int i, Tree * t)
{
/* Deletes i from the tree if it's there. */
/* Return a pointer to the resulting tree. */
Tree * x;
if (t==NULL)
{
return NULL;
}
t = splay(i,t);
if (i == t->item)
{ /* found it */
if (t->left == NULL)
{
x = t->right;
}
else
{
x = splay(i, t->left);
x->right = t->right;
}
size--;
free(t);
return x;
}
return t; /* It wasn't there */
}
int main(int argv, char *argc[])
{
/* A sample use of these functions. Start with the empty tree, */
/* insert some stuff into it, and then delete it */
Tree * root;
int i;
root = NULL; /* the empty tree */
size = 0;
for (i = 0; i < 1024; i++)
{
root = insert((541*i) & (1023), root);
}
printf("size = %d
", size);
for (i = 0; i < 1024; i++)
{
root = delete1((541*i) & (1023), root);
}
printf("size = %d
", size);
}
伸展树——自顶向下
三种旋转
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。
没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。
1、zig：
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。
2、zig-zig:
在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大；越是在路径前面移动到左树的节点，其值越小。
这很显然，右连接，将当前根以及右子树全部连接到右树，即把整课树中值大的一部分移走（大于等于当前根），
后面，在进行右连接，其值肯定小于之前的，所以，要加在右树的左边。
伸展树伪代码
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
T ： 当前的根节点。
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 等于 T 的左子结点 Then //zig
右连接
ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then //zig-zig
T的左子节点绕T右旋
右连接
Else X大于 T 的左子结点 Then //zig-zag
右连接
左连接
EndIf
ElseIf X大于 T Then
IF X 等于 T 的右子结点 Then
左连接
ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then
T的右子节点绕T左旋
左连接
Else X小于 T 的右子结点 Then
左连接
右连接
EndIf
EndIf
While ！(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFunction
zig-zag这种情形，可以先按zig处理。第二次循环在进行一次处理。简化代码如下：
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 小于 T 的左孩子 Then
T的左子节点绕T右旋
EndIf
右连接
Else If X大于 T Then
If X 大于 T 的右孩子 Then
T的右子节点绕T左旋
EndIf
左连接
EndIf
While !(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFuntion
例子
下面是一个查找节点19的例子：
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
如果查找的元素不在树中，则寻找过程中出现空的上一个节点即为根节点。
CPP代码
.h
struct SplayNode
{
int element;
SplayNode *left;
SplayNode *right;
};
class SplayTree
{
public:
SplayTree();
~SplayTree();
void Insert(int data);
void Remove(int data);
SplayNode *Find(int data);
private:
SplayNode *_tree;
SplayNode *_Insert(SplayNode *T, int item);
SplayNode *_Remove(SplayNode *T, int item);
SplayNode *_Splay(SplayNode *X, int Item);
SplayNode *_SingleToRight(SplayNode *K2);
SplayNode *_SingleToLeft(SplayNode *K2);
void _MakeEmpty(SplayNode *root);
};
.cpp
SplayTree::SplayTree()
{
_tree = NULL;
}
SplayTree::~SplayTree()
{
_MakeEmpty(_tree);
}
void SplayTree::Insert(int data)
{
_tree = _Insert(_tree, data);
}
void SplayTree::Remove(int data)
{
_tree = _Remove(_tree, data);
}
SplayNode *SplayTree::_SingleToRight(SplayNode *K2)
{
SplayNode *K1 = K2->left;
K2->left = K1->right;
K1->right = K2;
return K1;
}
SplayNode *SplayTree::_SingleToLeft(SplayNode *K2)
{
SplayNode *K1 = K2->right;
K2->right = K1->left;
K1->left = K2;
return K1;
}
SplayNode *SplayTree::_Splay(SplayNode *X, int item)
{
static struct SplayNode Header;
SplayNode *leftTreeMax, *rightTreeMin;
Header.left = Header.right = NULL;
leftTreeMax = rightTreeMin = &Header;
while( X != NULL && item != X->element)
{
if(item < X->element)
{
if(X->left == NULL)
break;
if(item < X->left->element)
{
X = _SingleToRight(X);
}
if( X->left == NULL)
break;
//右连接
rightTreeMin->left = X;
rightTreeMin = X;
X = X->left;
}
else
{
if(X->right == NULL)
break;
if(item > X->right->element)
{
X = _SingleToLeft(X);
}
if(X->right == NULL)
break;
//左连接
leftTreeMax->right = X;
leftTreeMax = X;
X = X->right;
}
}
leftTreeMax->right = X->left;
rightTreeMin->left = X->right;
X->left = Header.right;
X->right = Header.left;
return X;
}
SplayNode *SplayTree::_Insert(SplayNode *T, int item)
{
static SplayNode* newNode = NULL;
if(newNode == NULL)
{
newNode = new SplayNode;
}
newNode->element = item;
if(T == NULL)
{
newNode->left = newNode->right = NULL;
T = newNode;
}
else
{
T = _Splay(T, item);
if(item < T->element)
{
newNode->left = T->left;
newNode->right = T;
T->left = NULL;
T = newNode;
}
else if(T->element < item)
{
newNode->right = T->right;
newNode->left = T;
T->right = NULL;
T = newNode;
}
else
{
delete newNode;
}
}
newNode = NULL;
return T;
}
SplayNode *SplayTree::_Remove(SplayNode *T, int item)
{
SplayNode *newTree;
if(T != NULL)
{
T = _Splay(T, item);
if(item == T->element)
{
if(T->left == NULL)
{
newTree = T->right;
}
else
{
newTree = T->left;
newTree = _Splay(newTree, item);
newTree->right = T->right;
}
delete T;
T = newTree;
}
}
return T;
}
void SplayTree::_MakeEmpty(SplayNode *T)
{
if(T != NULL)
{
_MakeEmpty(T->left);
_MakeEmpty(T->right);
delete T;
}
}
SplayNode *SplayTree::Find(int data)
{
_tree = _Splay(_tree, data);
if(_tree->element == data)
return _tree;
else
return NULL;
}