题目描述
在数轴上有 (n) 个闭区间从 (1) 至 (n) 编号，第 (i) 个闭区间为 ([l_i,r_i])
现在要从中选出 (m) 个区间，使得这 (m) 个区间共同包含至少一个位置。换句话说，就是使得存在一个 (x) ，使得对于每一个被选中的区间 ([l_i,r_i])
对于一个合法的选取方案，它的花费为被选中的最长区间长度减去被选中的最短区间长度。区间 ([l_i,r_i]) 的长度定义为 ((r_i-l_i)) 即等于它的右端点的值减去左端点的值。
求所有合法方案中最小的花费。如果不存在合法的方案，输出 (−1) 。
输入格式
第一行包含两个整数，分别代表 (n) 和 (m) 。
第 (2) 到第 ((n + 1)) 行，每行两个整数表示一个区间，第 ((i + 1)) 行的整数 (l_i, r_i) 分别代表第 (i) 个区间的左右端点。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
题解
将区间按长度从小到大排序，记为 (p_1,p_2,cdots p_n)
假设最后选的区间中长度最短和最长的分别是 (p_l, p_r) ，那么答案就是 (p_r) 的长度减 (p_l) 的长度，在 (p_{l+1}sim p_{r-1}) 中选哪些并不会给答案造成影响
判定一个答案是否合法的方法：假设现在有一个长度为1e9的序列，每个位置的值都是 (0) ，如果我们对于 (p_l sim p_r) 的每个区间，都把这个区间中的每个位置+1，那么操作完后如果有某个位置的值大于 (m) ，那么就说明这个位置被 (p_l sim p_r) 中的至少 (m) 个区间覆盖了，也就是说存在一种合法方案只选择了 (m) 个 (p_lsim p_r) 中的区间，就可以用 ((p_r) 的长度减 (p_l) 的长度) 来更新答案
如果选择的最短区间为 (p_l) 时，使得代价最小的方案中选择的的最长区间是 (p_r)，那么选择的最短区间固定为 (p_{l+1}) 时，此时的最优方案选择的最长区间一定比 (p_r) 长
证明：假设最短区间固定为 (p_{l+1}) 时，此时的最优方案选择的最长区间是 (p_k)，且 (k < r)，那么按照上面那个判合法性的方法，选择 (p_lsim p_k) 也一定是合法的，矛盾
所以可以使用双指针的方法，每次固定左指针(即最短区间)，然后移动右指针找到第一个满足条件的最长区间，然后更新答案
上面的判定合法的方法需要区间加，查询全局最大值，用线段树维护即可
为方便线段树维护，可以先给区间端点进行离散化
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &num) {
T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
num = x * f;
}
int n, m, len[N], srt[N], mx;
struct intv {
int l, r;
} p[N];
bool cmp(intv x, intv y) { return x.r-x.l < y.r-y.l; }
void fCuCcFk() {
for (int i = 1; i <= n; i++) srt[++mx] = p[i].l, srt[++mx] = p[i].r;
sort(srt+1, srt+mx+1);
mx = unique(srt+1, srt+mx+1) - srt - 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
len[i] = p[i].r - p[i].l + 1;
p[i].l = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].l) - srt;
p[i].r = lower_bound(srt+1, srt+mx+1, p[i].r) - srt;
}
}
struct segtree {
int mx, tag;
} tr[N<<2];
void build(int ind, int l, int r) {
tr[ind].mx = tr[ind].tag = 0; if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(ind<<1, l, mid); build(ind<<1|1, mid+1, r);
}
inline void pushdown(int ind) {
if (!tr[ind].tag) return; int v = tr[ind].tag; tr[ind].tag = 0;
tr[ind<<1].mx += v; tr[ind<<1].tag += v;
tr[ind<<1|1].mx += v; tr[ind<<1|1].tag += v;
}
void update(int ind, int l, int r, int x, int y, int v) {
if (x <= l && r <= y) {
tr[ind].mx += v; tr[ind].tag += v; return;
}
pushdown(ind); int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) update(ind<<1, l, mid, x, y, v);
if (mid < y) update(ind<<1|1, mid+1, r, x, y, v);
tr[ind].mx = max(tr[ind<<1].mx, tr[ind<<1|1].mx);
}
int main() {
read(n); read(m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
read(p[i].l); read(p[i].r);
}
sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
fCuCcFk(); int ans = 0x3f3f3f3f;
build(1, 1, mx);
update(1, 1, mx, p[1].l, p[1].r, 1);
for (int i = 1, j = 1; i <= n; i++) {
while (j < n && tr[1].mx < m) {
j++;
update(1, 1, mx, p[j].l, p[j].r, 1);
}
if (tr[1].mx >= m) ans = min(ans, len[j] - len[i]);
update(1, 1, mx, p[i].l, p[i].r, -1);
}
printf("%d
", ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans);
return 0;
}