内部排序->选择排序->堆排序

文字描述

　　堆排序中,待排序数据同样可以用完全二叉树表示, 完全二叉树的所有非终端结点的值均不大于(或小于)其左、右孩子结点的值。由此，若序列{k1, k2, …, kn}是堆，则堆顶元素(或完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值(或最大值)。

　　若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素中的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

　　由此，实现堆排序需要解决两个问题：(1)如何由一个无序序列建成一个堆？(2)如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

　　先讨论第(2)个问题，假设有个最大堆(堆顶元素为堆的最大值)输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素代替之，此时根结点的左、右子树均为堆，则仅需自上至下进行调整即可。称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

再讨论第(1)个问题，由一个无序序列建成堆的过程就是一个反复”筛选”的过程。若将此序列看成一个完全二叉树，则最后一个非终端结点是第[n/2]个元素，由此“筛选”只需从第[n/2]个元素开始。

示意图

算法分析

　　堆排序在树形选择排序上进行了改进, 和树形选择排序比, 堆排序可以减少辅助空间, 避免和”最大值”的冗余比较等优点.

　　堆排序在最坏情况下，其时间复杂度也为nlogn。相对于快速排序来说，这是堆排序的最大优点(快速排序最坏情况下时间复杂度为n*n, 但平均性能为nlogn)。

　　堆排序只需一个记录大小的辅助空间供交换用。

　　堆排序是一种不稳定的排序方法。

　　另外，堆排序方法对记录数较少的文件并不提倡使用，但是对n较大的文件还是很有效的，因为其运行时间主要耗费在建立初始堆和调整新堆时的反复“筛选”上。

代码实现

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <stdlib.h>
  3 #include <math.h>
  4 /*
  5  * double log2(double x);    以2为底的对数
  6  * double ceil(double x);    取上整
  7  * double floor(double x);    取下整
  8  * double fabs(double x);    取绝对值
  9  */
 10 
 11 #define DEBUG
 12 
 13 #define EQ(a, b) ((a) == (b))
 14 #define LT(a, b) ((a) <  (b))
 15 #define LQ(a, b) ((a) <= (b))
 16 
 17 #define MAXSIZE  100
 18 #define INF         1000000
 19 typedef int KeyType;
 20 typedef char InfoType;
 21 typedef struct{
 22     KeyType key;
 23     InfoType otherinfo;
 24 }RedType;
 25 
 26 typedef struct{
 27     RedType r[MAXSIZE+1];
 28     int length;
 29 }SqList;
 30 
 31 void PrintList(SqList L){
 32     int i = 0;
 33     printf("下标值：");
 34     for(i=0; i<=L.length; i++){
 35         printf("[%d] ", i);
 36     }
 37     printf("
关键字：");
 38     for(i=0; i<=L.length; i++){
 39         if(EQ(L.r[i].key, INF)){
 40             printf(" %-3c", '-');
 41         }else{
 42             printf(" %-3d", L.r[i].key);
 43         }
 44     }
 45     printf("
其他值：");
 46     for(i=0; i<=L.length; i++){
 47         printf(" %-3c", L.r[i].otherinfo);
 48     }
 49     printf("

");
 50     return ;
 51 }
 52 
 53 //堆采用顺序存储表示
 54 typedef SqList HeapType;
 55 
 56 /*
 57  *已知H->r[s,...,m]中记录的关键字除H->r[s].key之外均满足的定义
 58  *本汉书调整H-r[s]的关键字，使H->r[s,...,m]成为一个大顶堆(对其中
 59  *记录的关键字而言)
 60  */
 61 void HeapAdjust(HeapType *H, int s, int m)
 62 {
 63     RedType rc = H->r[s];
 64     int j = 0;
 65     //沿key较大的孩子结点向下筛选
 66     for(j=2*s; j<=m; j*=2){
 67         //j为key较大的纪录的下标
 68         if(j<m && LT(H->r[j].key, H->r[j+1].key))
 69             j+=1;
 70         //rc应该插入位置s上
 71         if(!LT(rc.key, H->r[j].key))
 72             break;
 73         H->r[s] = H->r[j];
 74         s = j;
 75     }
 76     //插入
 77     H->r[s] = rc;
 78 }
 79 
 80 /*
 81  * 对顺序表H进行堆排序
 82  */
 83 void HeapSort(HeapType *H)
 84 {
 85     int i = 0;
 86     //把H->r[1,...,H->length]建成大顶堆
 87     for(i=H->length/2; i>=1; i--){
 88         HeapAdjust(H, i, H->length);
 89     }
 90 #ifdef DEBUG
 91     printf("由一个无序序列建成一个初始大顶堆：
");
 92     PrintList(*H);
 93 #endif
 94     RedType tmp;
 95     for(i=H->length; i>1; i--){
 96         //将堆顶记录和当前未经排序子序列H->r[1,...,i]中最后一个记录相互交换
 97         tmp = H->r[1];
 98         H->r[1] = H->r[i];
 99         H->r[i] = tmp;
100         //将H->r[1,...,i-1]重新调整为大顶堆
101         HeapAdjust(H, 1, i-1);
102 #ifdef DEBUG
103         printf("调整1至%d的元素，使其成为大顶堆：
", i-1);
104         PrintList(*H);
105 #endif
106     }
107 }
108 
109 int  main(int argc, char *argv[])
110 {
111     if(argc < 2){
112         return -1;
113     }
114     HeapType H;
115     int i = 0;
116     for(i=1; i<argc; i++){
117         if(i>MAXSIZE)
118             break;
119         H.r[i].key = atoi(argv[i]);
120         H.r[i].otherinfo = 'a'+i-1;
121     }
122     H.length = (i-1);
123     H.r[0].key = 0;
124     H.r[0].otherinfo = '0';
125     printf("输入数据:
");
126     PrintList(H);
127     //对顺序表H作堆排序
128     HeapSort(&H);
129     return 0;
130 }

堆排序

运行