泰勒级数 学习笔记

条件

(f(x))在(x=x_0)处有任意阶的导数

定义

(f(x))在(x=x_0)处的泰勒级数为

[f(x)approx P(x)=sum_{n=0}^{infty}frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n ]

拉格朗日余项

(f(x)approx P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x))
(f(x)=P(x)+R_n(x))
(R_n(x)=frac {f^{(n+1)}(A)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1})
(A~between~x_0 ~and~ x)

例子1

(e^x)有任意阶的导数且均为(e^x)
在(x=0)处有任意阶的导数且均为(1)
(e^x=1+x+frac 1 2 x^2+frac 1 6 x^3+frac 1 {24}x^4+...+frac 1 {n!}x^n......)

例子2

(sin(x))有任意阶的导数且依次为((sin x,~cos x,-sin x,~-cos x),~(sin x.....)
在(x=0)处有任意阶的导数且依次为
((0,1,0,-1),(0,1,0,-1)......)
(sin x=x-frac 1 {3!} x^3+frac 1{5!}x^5+.....)

例子3

(cos(x))有任意阶的导数且依次为((cos x,~-sin x,-cos x,~sin x),~(cos x.....)
在(x=0)处有任意阶的导数且依次为
((1,0,-1,0),(1,0,-1,0)......)
(cos x=1-frac 1 {2!}x^2+frac 1 {4!} x^4.....)

组合

(i^0=1)
(i^1=i)
(i^2=-1)
(i^3=-i)
(i^4=1)
欧拉公式：
(e^{~i~x}=cos(x)+i~sin(x))
令x坐标为实数，y坐标为(i),能画出一个单位圆

几何级数

[frac 1 {1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n+...（0<|~x~|<1） ]

把分母乘过去试试(限制是防止inf)