int power(int n, int k) { int ans = 1; while( k ) { if(k & 1) { ans *= n; } k >>= 1; n *= n; } return ans; }
下面是 m^n % k 的快速幂：
int quickpow(int m,int n,int k) { int b = 1; while (n > 0) { if (n & 1) b = (b*m)%k; n = n >> 1 ; m = (m*m)%k; } return b; }
下面是矩阵快速幂：
//HOJ 3493 /*===================================*/ || 快速幂（quickpow）模板 || P 为等比，I 为单位矩阵 || MAX 要初始化！！！！ || /*===================================*/ /*****************************************************/ #include <cstdio> const int MAX = 3; typedef struct{ int m[MAX][MAX]; } Matrix; Matrix P = {5,-7,4, 1,0,0, 0,1,0, }; Matrix I = {1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, }; Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法 { int i,j,k; Matrix c; for (i = 0 ; i < MAX; i++) for (j = 0; j < MAX;j++) { c.m[i][j] = 0; for (k = 0; k < MAX; k++) c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%9997; c.m[i][j] %= 9997; } return c; } Matrix quickpow(long long n) { Matrix m = P, b = I; while (n >= 1) { if (n & 1) b = matrixmul(b,m); n = n >> 1; m = matrixmul(m,m); } return b; } /*************************************/ int main() { Matrix re; int f[3] = {2,6,19}; long long n; while (scanf("%I64d",&n) && n != 0) { if (n == 1) printf("1 "); else if (n <= 4) printf("%d ",f[n-2]); else { re = quickpow(n - 4); printf("%d ",(((re.m[0][0]*f[2]) + (re.m[0][1]*f[1]) + (re.m[0][2]*f[0])) %9997 + 9997) % 9997); } } return 0; }
//计算a^bmodn int modexp_recursion(int a,int b,int n) { int t = 1; if (b == 0) return 1; if (b == 1) return a%n; t = modexp_recursion(a, b>>1, n); t = t*t % n; if (b&0x1) { t = t*a % n; } return t; }
#include <iostream> using namespace std; //计算a^bmodn int modexp(int a,int b,int n) { int ret=1; int tmp=a; while(b) { //基数存在 if(b&0x1) ret=ret*tmp%n; tmp=tmp*tmp%n; b>>=1; } return ret; } int main() { cout<<modexp(2,10,3)<<endl; return 0; }
矩阵快速幂
转自http://www.cnblogs.com/yan-boy/archive/2012/11/29/2795294.html
矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。
这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：
一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。
但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)
这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。
既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。 好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
while(N) { if(N&1) res=res*A; n>>=1; A=A*A; }
里面的乘号，是矩阵乘的运算，res是结果矩阵。
第3行代码每进行一次，二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。
好吧，矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码（代码以3*3的矩阵为例）。
现在我就说下我对二进制的感想吧：
我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化
1.多重背包问题
2.树状数组
3.状态压缩DP
……………还有很多。。。究其根本还是那句话：化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制，更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况，那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。
最后贴出一些代码供大家学习，主要起演示的效果：
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; int N; struct matrix { int a[3][3]; }origin,res; matrix multiply(matrix x,matrix y) { matrix temp; memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { for(int k=0;k<3;k++) { temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; } } } return temp; } void init() { printf("随机数组如下: "); for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { origin.a[i][j]=rand()%10; printf("%8d",origin.a[i][j]); } printf(" "); } printf(" "); memset(res.a,0,sizeof(res.a)); res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1; //将res.a初始化为单位矩阵 } void calc(int n) { while(n) { if(n&1) res=multiply(res,origin); n>>=1; origin=multiply(origin,origin); } printf("%d次幂结果如下： ",n); for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) printf("%8d",res.a[i][j]); printf(" "); } printf(" "); } int main() { while(cin>>N) { init(); calc(N); } return 0; }
//HDU 4965 #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 1010; const int maxd = 6; #define FOR(i,n) for(int i = 0; i < n; i++) struct Mat{ int mat[maxd][maxd];//注意这里maxd不能开太大，请将矩阵优化成此规模限制内 }; int N,K; int mat_a[maxn][maxd],mat_b[maxd][maxn]; int ret_a[maxn][maxn],ret_b[maxn][maxn]; Mat operator *(Mat x,Mat y){//重载矩阵乘法 Mat c; FOR(i,K) FOR(j,K){ c.mat[i][j] = 0; FOR(k,K){c.mat[i][j] += (x.mat[i][k] * y.mat[k][j]); c.mat[i][j] %= 6;} } return c; } Mat mult(int mat_x[maxd][maxn],int mat_y[maxn][maxd]){ Mat m; FOR(i,K) FOR(j,K){ m.mat[i][j] = 0; FOR(k,N) m.mat[i][j] += (mat_x[i][k] * mat_y[k][j]); } return m; } int main(){ while(scanf("%d%d",&N,&K)){ if(!N && !K) break; FOR(i,N) FOR(j,K) scanf("%d",&mat_a[i][j]); FOR(i,K) FOR(j,N) scanf("%d",&mat_b[i][j]); Mat c = mult(mat_b,mat_a); int M = N * N - 1; Mat ret; FOR(i,K) FOR(j,K) if(i == j) ret.mat[i][j] = 1; else ret.mat[i][j] = 0; while(M){ if(M & 1) ret = ret * c; M >>= 1; c = c * c; }//矩阵快速幂（M次方），ret是单位矩阵 FOR(i,N) FOR(j,K){ ret_a[i][j] = 0; FOR(k,K) ret_a[i][j] += (mat_a[i][k] * ret.mat[k][j]); } FOR(i,N) FOR(j,N){ ret_b[i][j] = 0; FOR(k,K) ret_b[i][j] += (ret_a[i][k] * mat_b[k][j]); } int sum = 0; FOR(i,N) FOR(j,N) sum += (ret_b[i][j] % 6); printf("%d ",sum); } return 0; }