高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。
下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目：
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户，开关灯问题，很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数，直接套模板求解即可。但是，当出现无穷解时，需要枚举解的情况，因为无法判断哪种解是题目要求最优的。
POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似，只要在求解过程中加入取余即可。
注意：当方程组唯一解时，求解过程中要保证解在[3, 9]之间。
POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题，有各种解法，也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...)，由于周期4不是素数，故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解 集变大)，但最后求解集时，还是需要进行取余操作，那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路 过的大牛指点下～～
POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题，由于题目中的p是素数，可以直接在求解时取余，套用模板求解即可。(虽然AC的人很少，但它还是比较水的一道题，)
POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...)，但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点，我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数，然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组，要注意精度问题，然后又询问不确定的变元，按前面说的方法求解。
一顿折腾后，这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能还是精度的问题吧...看这题目，看这代码，就没有改的欲望...
hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题，当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类，套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定～～
注意下0和负数时的输出即可。
fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目，还是经典的开关问题，但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了～～)，最后要求增广阵的阶，要用到高精度～～
Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee
这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似，就不提供了)～～
2 #include <string>
3 #include <cmath>
4 using namespace std;
5
6 const int maxn = 105;
7
8 int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
9 int a[maxn][maxn];
10 int x[maxn]; // 解集.
11 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
12 int free_num;
13
14 void Debug(void)
15 {
16 int i, j;
17 for (i = 0; i < equ; i++)
18 {
19 for (j = 0; j < var + 1; j++)
20 {
21 cout << a[i][j] << " ";
22 }
23 cout << endl;
24 }
25 cout << endl;
26 }
27
28 inline int gcd(int a, int b)
29 {
30 int t;
31 while (b != 0)
32 {
33 t = b;
34 b = a % b;
35 a = t;
36 }
37 return a;
38 }
39
40 inline int lcm(int a, int b)
41 {
42 return a * b / gcd(a, b);
43 }
44
45 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
46 int Gauss(void)
47 {
48 int i, j, k;
49 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
50 int col; // 当前处理的列.
51 int ta, tb;
52 int LCM;
53 int temp;
54 int free_x_num;
55 int free_index;
56 // 转换为阶梯阵.
57 col = 0; // 当前处理的列.
58 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
59 { // 枚举当前处理的行.
60 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
61 max_r = k;
62 for (i = k + 1; i < equ; i++)
63 {
64 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
65 }
66 if (max_r != k)
67 { // 与第k行交换.
68 for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
69 }
70 if (a[k][col] == 0)
71 { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
72 k--; continue;
73 }
74 for (i = k + 1; i < equ; i++)
75 { // 枚举要删去的行.
76 if (a[i][col] != 0)
77 {
78 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
79 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
80 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
81 for (j = col; j < var + 1; j++)
82 {
83 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
84 }
85 }
86 }
87 }
88 Debug();//不用加这个
89 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
90 for (i = k; i < equ; i++)
91 { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
92 if (a[i][col] != 0) return -1;
93 }
94 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
95 // 且出现的行数即为自由变元的个数.
96 if (k < var)
97 {
98 // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
99 for (i = k - 1; i >= 0; i--)
100 {
101 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
102 // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
103 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
104 for (j = 0; j < var; j++)
105 {
106 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
107 }
108 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
109 // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
110 temp = a[i][var];
111 for (j = 0; j < var; j++)
112 {
113 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
114 }
115 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
116 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
117 }
118 return var - k; // 自由变元有var - k个.
119 }
120 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
121 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
122 for (i = var - 1; i >= 0; i--)
123 {
124 temp = a[i][var];
125 for (j = i + 1; j < var; j++)
126 {
127 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
128 }
129 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
130 x[i] = temp / a[i][i];
131 }
132 return 0;
133 }
134 int main(void)
135 {
136
137
138 freopen("Input.txt", "r", stdin);
139 int i, j;
140 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
141 {
142 memset(a, 0, sizeof(a));
143 memset(x, 0, sizeof(x));
144 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
145 for (i = 0; i < equ; i++)
146 {
147 for (j = 0; j < var + 1; j++)
148 {
149 scanf("%d", &a[i][j]);
150 }
151 }
152 // Debug();
153 free_num = Gauss();
154 if (free_num == -1) printf("无解!\n");
155 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
156 else if (free_num > 0)
157 {
158 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
159 for (i = 0; i < var; i++)
160 {
161 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
162 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
163 }
164 }
165 else
166 {
167 for (i = 0; i < var; i++)
168 {
169 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
170 }
171 }
172 printf("\n");
173 }
174 return 0;
175 }