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【问题描述】 求1~N当中约数个数最多的数，若有多解则输出最小的数。 【输入格式】 输入文件只有一行。这一行有一个数N（1≤N<10^17）。 【输出格式】 输出文件只有一行。这一行有一个数，即所求的数。 【输入样例】 2000 【输出样例】 1680 题目分析： （1）此题最容易想到的是穷举，但是肯定超时。 （2）我们可以知道，计算约数的个数和质因数分解有着很大的联系： 若Q的质因数分解为：Q=p1^k1*p2^k2*…*pm^km（p1…pm为素数，k1…km≥1），则Q有(k1+1)(k2+1)…(km+1)个约数。 但是质因数分解的时间复杂度很高，所以也会超时。 （3）通过以上的公式，我们可以“突发奇想”：为何不能把质因数分解的过程反过来呢？ 这个算法就是枚举每一个素数。初始时让m=1，然后从最小的素数2开始枚举，枚举因子中包含0个2、1个2、2个2…k个2，直至m*2^k大于区间的上限N。在这个基础上枚举3、5、7……的情况，算出现在已经得到的m的约数个数，同时与原有的记录进行比较和替换。直至所有的情况都被判定过了。 这个算法的优化：如果p1*p2*p3*……*pk>N（pi表示第i个素数），那么只要枚举到p k-1，既不浪费时间，也不会遗漏。 根据以上的算法，对于上限需要枚举436555171个数，也会超时，不过可以过70-80%的数据。 （4）以上的算法还不是最好的，还可以继续优化。 我们看以下的例子： 6=2*3 10=2*5 6和10的质因数分解“模式”完全相同，所以它们的约数个数是相同的。但是由于3<5，所以6<10。 12=2^2*3 18=3^2*2 12和18的质因数分解“模式”完全相同，所以它们的约数个数是相同的。但是由于12的质因数分解中2的指数大于3的指数，18的质因数分解中3的指数大于2的指数，所以12<18。 根据以上的举例，我们也可以对（3）中的算法进行一个改进：可以在枚举时进行一个优化，使得枚举到的数字中2的指数不小于3的指数，3的指数不小于5的指数……这样我们就能够得到质因数分解“模式”相同的最小数（证明略）。再对于每一个得到的数进行比较和记录。这个算法对于上限只需要枚举34136个数，几乎达到了极限。 参考程序： const a:array[1..15]of integer=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47); |
#include<stdio.h> #define inf 9999999 int p[20] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51}; long long max,n; long long num; void get(long long m,int f,int t,int pr)//m代表当前值，f当前的素数，t约数的个数，pr指数限制 { if(t>max||(t==max&&m<num)) { num=m; max=t; } int j=0,l=1,nt; long long i=m; while(j<pr) { j++; l++; if(n/i<p[f])break; nt=t*l;//约数的个数 i=i*p[f]; if(i<=n)get(i,f+1,nt,j);//为什么是 j，为了是 前一个素数的指数大于后一个素数的指数 } } int main() { int t; scanf("%d",&t);; while(t--) { max=-1; num=-1; scanf("%lld",&n); get(1,1,1,30); printf("%lld\n",num); } }