求区间([l,r])内的数，满足自己能整除自己各个数位上的和的数的个数，(l,rleq 10^{18})。
解
不难得知设(f_n)为n以内的满足条件的数，答案即(f_r-f_l)，因为递推中要表现整除，可以考虑摸递推。
要表现各个数位的和，又要变现长度，而且还要表现摸数，还有余数，故设(f[i][j][k][l])表示i位的数，各数位的和为j，摸数为k，余数为l的数的方案数，因此不难有
[f[i][j][k][l]=sum_{p=0}^9{f[i-1][j-p][k][(l-p)\%k]}
]
边界：(f[0][0][k][0]=1,k=0,1,2,...,162)
注意到空间开不下，而摸数不涉及转移，故可以压掉，于是我们可以枚举各位和，临时求递推方程，来进行试填，没有其他的什么细节了，因为时间复杂度理论是不能过了，注意看起来不起眼的剪枝。
参考代码：
阶段实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
int num[20];
ll dp[20][200][200],base[20];
il ll ask(ll,int);
il int min(int,int);
template<class f1,class f2>
il f1 mod(f1,f2&);
int main(){
int i;ll ans(0),a,b;
scanf("%lld%lld",&a,&b);
for(i=base[0]=1;i<19;++i)base[i]=base[i-1]*10;
for(i=1;i<163;++i)
ans+=ask(b,i)-ask(a-1,i);
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
il int min(int a,int b){
return a<b?a:b;
}
il ll ask(ll n,int k){
ri int i,j,r;ri ll l;ll ans(0);
memset(num,0,sizeof(num));
memset(dp,0,sizeof(dp)),++n;
while(n)num[++num[0]]=n%10,n/=10;
dp[0][0][0]=1;
for(i=0;i<num[0];++i)
for(j=0;j<=k;++j)
for(l=0;l<k;++l)
if(dp[i][j][l])
for(r=0;r<10;++r)
dp[i+1][j+r][(l+r*base[i])%k]+=dp[i][j][l];
r=k,l=0;
for(i=num[0];i;--i){
for(j=0;j<num[i]&&j<=r;++j)
ans+=dp[i-1][r-j][mod(l-j*base[i-1],k)];
r-=j,l=mod(l-j*base[i-1],k);
}return ans;
}
template<class f1,class f2>
il f1 mod(f1 x,f2 &y){
return ((x%=y)+=y)%=y;
}
dfs实现
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[25][200][200],base[25];
int p,num[25],is[25][200][200];
il ll ask(ll);
ll dfs(int,int,int,bool);
template<class free>il free mod(free);
template<class free>il free Min(free,free);
template<class free>il free Max(free,free);
int main(){
base[0]=1;ll a,b,ans(0);scanf("%lld%lld",&a,&b);
for(int i(1);i<19;++i)base[i]=base[i-1]*10;
printf("%lld",ask(b)-ask(a-1));
return 0;
}
template<class free>il free mod(free x){return ((x%=p)+=p)%=p;}
template<class free>il free Min(free a,free b){return a<b?a:b;}
template<class free>il free Max(free a,free b){return a>b?a:b;}
il ll ask(ll n){num[0]&=0;ll ans(0);
do num[++num[0]]=n%10,n/=10;while(n);
for(p=num[0]*9;p;--p)ans+=dfs(num[0],p,0,1);
return ans;
}
ll dfs(int a,int b,int c,bool s){if(!a)return !b&&!c;
if(!s&&is[a][b][c]==p)return dp[a][b][c];ll k(0);
int i(Max(0,b-(a-1)*9)),j(Min(s?num[a]:9,b));
while(i<=j)k+=dfs(a-1,b-i,mod(c-i*base[a-1]),s&&i==num[a]),++i;
if(!s)dp[a][b][c]=k,is[a][b][c]=p;return k;
}