目录
- 前言
- 正文
- 1.$sum_{i=1}ni2=12+22+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- 2.$sum_{i=1}nai=a1+a2+...+an=frac{a{n+1}-a}{a-1}$
- 3. $13+23+...+n3=sum_{i=1}ni3=(frac{(1+n)n}{2})2$
- 4. $f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+....+f_n=sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-f_2$
- 5. $f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+f_3+f_5+...+f_n=f_1+f_{n+1}-f_2$
- 6. $f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_2+f_4+...+f_n=f_{n+1}-f_2+f_0$
前言
此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处，便于需要之时快速查询，以及方便各位高人。
正文
1.(sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6})
证明：
法一：构造等差数列
注意到(n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)=3n^2-3n+1),而一次的等差数列我们又很好求，于是考虑以此等差,把(1-i)带入该式，并为了方便设(S=sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2),于是有：
[1^3-0^3=3 imes1^2-3 imes 1+1
]
[2^3-1^3=3 imes2^2-3 imes 2+1
]
[3^3-2^3=3 imes3^3-3 imes 3+1
]
[.
]
[.
]
[.
]
[n^3-(n-1)^3=3 imes n^3-3 imes n+1
]
累加即有
[n^3=3S-3frac{n(n+1)}{2}+n
]
[3S=n^3+3frac{n(n+1)}{2}-n
]
[S=frac{n^3-n}{3}+frac{n(n+1)}{2}
]
[S=frac{2(n^3-n)+3n(n+1)}{6}
]
[S=frac{2n^3+2n^2+n}{6}
]
[S=nfrac{2n^2+2n+1}{6}
]
[S=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
]
故得证。
法二：几何巧妙构造代数情景
设(S=sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2)
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
. . . . .
n n n n n n
已知答案即为该图形中所有数字之和，再将之分别顺时针旋转(60^o,120^o),有：
n
n .
n . 4
n . 4 3
n . 4 3 2
n . 4 3 2 1
和
n
. n
4 . n
3 4 . n
2 3 4 . n
1 2 3 4 . n
不难得知每个格子的对应数字之和为(2n+1),所以:
[3S=(2n+1)frac{n(n+1)}{2}
]
[S=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
]
故得证。
2.(sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=frac{a^{n+1}-a}{a-1})
证明：
数列问题，考虑扩大做差，设(S=sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n),于是有
[aS=a^2+a^3+...+a^{n+1}
]
两式相减，有
[S(a-1)=a^{n+1}-a
]
[S=frac{a^{n+1}-a}{a-1}
]
故得证。
3. (1^3+2^3+...+n^3=sum_{i=1}^ni^3=(frac{(1+n)n}{2})^2)
证明：
法一：构造等差数列
注意到(n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1)
所以有
[1^4-(1-1)^4=4 imes1^3-6 imes1^2+4 imes1-1
]
[2^4-(2-1)^4=4 imes2^3-6 imes2^2+4 imes2-1
]
[.
]
[.
]
[.
]
[n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
]
累加有
[n^4=4 imes(1+..+n^3)-n(1+n)(2n+1)+2n(1+n)-n
]
[4 imes(1+..+n^3)=n(n^3+1)+n(1+n)(2n+1)-2n(1+n)
]
[4 imes(1+..+n^3)=n(n+1)[(n^2-n+1)+(2n+1)-2]
]
[4 imes(1+..+n^3)=n^2(n+1)^2
]
[1^3+..+n^3=(frac{n(1+n)}{2})^2
]
法二：几何意义
设有一边长(frac{n(1+n)}{2})的正方形，把它的边长分成n块，块的长度依次(1,2,3,...,n),如图所示，数字为其所属块
| 1* | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2* | 2* | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 2* | 2* | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
对于全部标n的数字的地方,标*面积(n^2)，其旁边的数字不难得知对于应为(frac{n(n-1)}{2} imes n imes 2),所以对于标数字n而言的面积为
[frac{n(n-1)}{2} imes n imes 2+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3
]
于是不难得知大正方形面积即为我们所求数列。
4. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+....+f_n=sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-f_2)
证明：
考虑数列通项公式的证明办法，构造等差，于是有(f_n=f_{n+2}-f_{n+1}),代入我们有
[f_1+....+f_n=f_3-f_2+f_4-f_3+...+f_{n-2}-f_{n+1}=
]
[f_{n+2}-f_2
]
5. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+f_3+f_5+...+f_n=f_1+f_{n+1}-f_2)
证明:
直接带入转移方程，我们有
[f_1+f_1+f_2+f_3+f_4+...+f_{n-2}+f_{n-1}=
]
[f_1+f_{n+1}-f_2
]
6. (f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_2+f_4+...+f_n=f_{n+1}-f_2+f_0)
证明：
[f_0+f_1+f_2+f_3+...+f_{n-2}+f_{n-1}=f_{n+1}-f_2+f_0
]