Miller Rabin

素性检测，用来判断一个数 (num) 是否为质数，但提前说明，这是一个充分不必要条件，也就是说， (num) 为质数，一定能通过素性检测，但通过素性检测的不一定都是质数。

笔者向来喜欢 define int long long ，所以不用担心本篇文章的数据。

先给出两个小定理

我们很显然的知道除了 (2) 是一个质数外，其他的偶数必然是合数，那么我们就能够知道其他的质数必然是奇数(我们对于 (2) 直接特判一下即可) ，我们就可以将该数 (n) 一定可以被表示为 (n = d imes 2^r + 1) ,也就是 (n - 1 = d imes 2^r)

则以下两个式子任意满足一个就说明其实可以通过素性测试的。

[egin{cases} a^d equiv 1 (mod n) \ exists 0 leq i < r , a^{d imes 2^{i}} equiv -1 (mod n) end{cases} ]

根据前人的经验：我们选择 (a) 为100以内的大概 (10) 个质数的时候，在 (long long) 范围内极极极极极小概率会出错。

满足其中一个就可以说明通过素性检测了，但不代表通过素性检测就是一个素数，哪怕是两个都满足，这两个均为充分不必要条件。
(Code)

bool miller_rabin(int n , int a) //检测 $a$ 这个数是否能让 $n$ 通过素性测试 
{
	int d = n - 1 , r = 0 ; 
	while(!(d % 2)) {d /= 2 ; r++ ; } // 取出 $d$ 和 $r$ 
	int x = quick(a , d , n) ; // a ^ d % n  
	for(qwq int i = 0 ; i <= r - 1 ; i++) 
	{
		if(x == n - 1) return true ; 
		x = x * x % n ; //这里应用快速乘 
	} 
	return false ; 
}

另外一种小检测(更好写)

费马小定理，因为前面的两个小定理都是费马小定理的扩展形式，那同时是不是说明，我们可以直接通过费马小定理乱搞呢？这答案经过验证是可行的。

过程：我们随机出来一个 (a) , 然后我们判断一下 (a^{num - 1} equiv 1(mod num )) 是否成立，如果成立我们就认为通过测试了，如果不通过测试，那么就说明 (num) 一定不是质数。然后我们多来几次，我们就大概率认为其 (num) 为质数了。乱搞。！！！

(quick) 表示快速幂

bool query(int num){
    if(num == 2) return true ; 
    for(qwq int i  = 0 ; i  < base ; i++) 
    {
    	int x = rand() % (num - 2) + 2;
    	if(quick(x ,num , num) != x) return false ;
	}
	return true ; 
}

其他的素数判断方法就不必了