Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.
For example, given the following triangle
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).
Note:
Bonus point if you are able to do this using only (O(n)) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.
先说一个坑：本题绝不是找每行最小元素，然后把它们加起来那么简单．原因是这些元素是有路径的！看下例：
[
[-1],
[2, 3],
[1,-1,-3],
]
结果应为 -1 + 2 + -1 = 0, 而不是 -1 + 2 + -3 = -2.
idea来自 http://www.cnblogs.com/liujinhong/p/5551932.html 中的图片，感谢这位同学．
本 code 属于 方法一: 自上而下，破坏原数组A. (O(n^2)) time, (O(1)) space
另一种方法 方法二: 自下而上，不破坏数组A. 维护一个长度为 n 的 1-dim 数组. (O(n^2)) time, (O(n)) space.
方法一的解题思路(请务必参照上面网址中的图片)：
从上至下，将值按照＂路径＂加到下一层
除了A[0][0]这种情况外，还会遇到下列三种(注意判断条件)情况，共 4 cases:
case 1: left, right 上邻居都存在
case 2: left上不存在, right上存在
case 3: left上存在, right上不存在
case 4: A[0][0](它没left上 和 right上邻居), 我们 do nothing, 保留A[0][0]数值不变.
下面的图可以让我们看清上面 4 cases 的判断条件:
下面是元素索引:
[
[0,0],
[1,0],[1,1] , [row-1,col-1],[row-1,col],
[2,0],[2,1],[2,2], [row, col]
[3,0],[3,1],[3,2],[3,3]
]
人家想法，自个代码(方法一，破坏原数组)：
(O(n^2)) time, (O(1)) space
// idea来自 http://www.cnblogs.com/liujinhong/p/5551932.html
// 本 code 属于方法一:自上而下，破坏原数组A. $O(n^2)$ time, $O(1)$ space
// 另一种方法方法二:自下而上，不破坏数组A. 维护一个长度为 n 的 1-dim 数组．
// $O(n^2)$ time, $O(n)$ space.
int minimumTotal(vector<vector<int>>& A) {
const int n = A.size();
if (n == 0) return 0;
// 从上至下，将值按照＂路径＂加到下一层
// 除了A[0][0]这种情况外，还会遇到下列三种情况，共 4 cases.
for (int row = 0; row < n; row++) {
for (int col = 0; col <= row; col++) {
if ((row - 1 >= 0) && (col - 1 >= 0) && (col <= row - 1)) {
// case 1: left, right 上邻居都存在
int mi = min(A[row - 1][col - 1], A[row - 1][col]);
A[row][col] += mi;
} else if ((row - 1 >= 0) && (col - 1 < 0) && (col <= row - 1)) {
// case 2: left上不存在, right上存在
A[row][col] += A[row - 1][col];
} else if ((row - 1 >= 0) && (col - 1 >= 0) && (col > row - 1)) {
// case 3: left上存在, right上不存在
A[row][col] += A[row - 1][col - 1];
}
// case 4: A[0][0](它没left上 和 right上邻居)
// do nothing, 保留A[0][0]数值不变.
}
}
// 返回A中最下面的一行(A[n-1])最小元素
int res = INT_MAX;
for (int i = 0; i < A[n - 1].size(); i++) {
res = min(res, A[n - 1][i]);
}
return res;
}
方法二:
自下而上，不破坏数组A．
关键是找本层和上一层元素的关系，那就是 temp[j] = A[i,j] + min(temp[j], temp[j+1]).
(O(n^2)) time, (O(n)) space.
// 方法二：
// 自下而上，不破坏数组A. 维护一个长度为 n 的 1-dim 数组．
// $O(n^2)$ time, $O(n)$ space.
int minimumTotal(vector<vector<int>>& A) {
const int n = A.size();
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1)
return A[0][0];
vector<int> temp;
// A 最后一行存入temp
for (int j = 0; j < n; j++)
temp.push_back(A[n - 1][j]);
// 从倒数第二行到上按路径元素取min的，相加
// 对应关系:
// A[2, 1]
// temp[1] temp[1+1]
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
int smal = min(temp[j], temp[j + 1]);
// 若当前使用temp[0], temp[1]
// temp[0] 被改, 但不影响下次使用temp[1], temp[2]
temp[j] = A[i][j] + smal;
}
}
return temp[0];
}