离散化

离散化：离散化就是把大范围的数，映射到一个小范围，即把无限空间中的有限个体，映射到有限空间中去，以此来提高算法的时空效率。

例题：求区间和

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是0。

现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置x上的数加c。

接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数l和r，你需要求出在区间[l, r]之间的所有数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

接下来 n 行，每行包含两个整数x和c。

再接下里 m 行，每行包含两个整数l和r。

输出格式
共m行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围
−10^9 ≤ x ≤ 10^9,
1 ≤ n,m ≤ 10^5,
−10^9 ≤ l ≤ r ≤ 10^9,
−10000 ≤ c ≤ 10000
输入样例：
3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8
输出样例：
8
0
5

思路：看到这道题想到的肯定是利用前缀和进行计算，但是如果直接使用前缀和的话我们需要开一个数量级为1e9的数组，这显然不太可能，而发现n与m最多就访问1e5次，所以我们用的空间最多数量级也就1e5，所以 n m x 一共用到的空间是3e5就足够了，因此我们就把用到的数都通过离散化映射到小范围中去，再使用前缀和。

那么离散化的方法：首先把所有要离散化的数据都 push_back() 到 all 数组中去，然后先排序，再去重，再利用二分来离散化。

排序：

sort(alls.begin(), alls.end());

去重：运用erase，unique来去重（经典方法）

alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

unique的去重原理是将所用不重复的元素放到前边，将重复的元素放到数组后边，最后将迭代器指向最后不重复下标并返回，所以这个操作完美去重。

离散化：即运用二分，也可直接用 `low_bound` ，把数插入到a数组中去。

二分写法：因为是用到前缀和，所以我们的下标从1开始，返回的是r+1

int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size()-1;
    while(l < r)
    {
        int mid = l+r >> 1; 
        if(alls[mid] >= x) r = mid;  //依据的是原先数字在alls数组中的相对位置
        else l = mid+1;
    }

    return r+1;
}

low_bound() 写法:

int find(int x) //lower_bound二分写法
{
    return lower_bound(alls.begin(), alls.end(), x) - alls.begin() + 1;
}

总代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;
int n, m;
int a[N], s[N];  //a存放离散化后的序列

vector<int> alls;  //要散化的所有数据
vector<PII> add, query;  //add是存x+c的  query用来存区间两边

int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size()-1;
    while(l < r)
    {
        int mid = l+r >> 1; 
        if(alls[mid] >= x) r = mid;  //依据的是原先数字在alls数组中的相对位置
        else l = mid+1;
    }

    return r+1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});  //在某个数上加c

        alls.push_back(x);
    }

    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});

        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }

    //去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    //处理插入
    for(auto item : add)
    {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }

    //预处理前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i-1] + a[i];

    //处理询问
    for(auto item : query)
    {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l-1] << endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

离散化