二分算法（以数的范围为例）

原题：

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

输入格式
第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。

接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。

输出格式
共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1

整数二分

首先寻找下界，先定义一个 mid = (l+r) >> 1 ，即如果找到了符合条件的 q[mid] ，则可知符合条件的下界坐标在 [x, q[mid]] 的范围内，注意是闭区间，所以这时候更新上界 r = mid ，否则 l = mid+1 。

寻找上界，同样是先定义一个 mid = (l+r) >> 1，如果找到了符合条件的 q[mid] ，则可知符合条件的上界坐标在 [q[mid], x] ,所以这时候要更新下界 l = mid ,否则 r = mid-1 ，最重要的一定就是，当发现更新的是 l = mid 的时候，一定要注意 mid = (l+r+1) >> 1 需要这样更改，否则会造成边界问题，进入死循环。

所以二分有两个重要的模板：

bool check(int x) { }; //检查x是否具有某种性质
void bsearch_1(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = (l+r) >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid+1;
    }
    return l;
}

void bsearch_2(int l, int r)
{
    while(l < r)
    {
        int mid = (l+r+1) >> 1;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid-1;
    }
    return l;
}

需要注意区别使用。

本题的AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 100010;
int q[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i];

    while(m--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n-1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l+r) >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid+1;
        }
        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << " ";

            int l = 0, r = n-1;
            while(l < r)
            {
                int mid = (l+r+1) >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid-1;
            }

            cout << l << " ";
        }
    }
    system("pause");
    return 0;
}

浮点数的二分（以寻找一个数的平方根为例）
因为浮点数可以严格的除以2，所以不用考虑边界问题了，让所区间非常小时我们认为边界即答案，还有就是边界的数量级最好比所得结果所保留小数的位数多两位，例如保留六位小数，最好 r-l > 1e-8 。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

double maxn(double a, double b)
{
    if(a > b) return a;
    return b;
}

int main()
{
    double n;

    cin >> n;
    double l = 0, r = maxn(1, n);
    while(r-l > 1e-8)
    {
        double mid = (l+r)/2;
        if(mid*mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%llf", l);
    system("pause");
    return 0;
}

寻找一个数的三次方根

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double x;

    cin >> x;
    double l = -10000, r = 10000;
    while(r - l >= 1e-8)
    {
        double mid = (l+r)/2;
        if(mid*mid*mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%lf
", l);
    system("pause");
    return 0;
}