题面
Description
osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。
Input
第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。
Output
只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。
Sample Input
3
0.5
0.5
0.5
Sample Output
6.0
HINT
【样例说明】
000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0
N<=100000
题解
我们令随机变量((i, x))表示以第(i)位为结尾的最长连续段的长度, 随机变量(x^2)表示最长连续段长度的平方, (x^3)表示其三次方. 则有
[E_{i, x} = E_{i - 1, x + 1} imes p \
E_{i, x^2} = E_{i - 1, (x + 1)^2} times p \
E_{i, x^3} = E_{i - 1, (x + 1)^3} imes p
]
再根据期望的线性, 我们得到
[E_{i, x} = E_{i - 1, x + 1} imes p \
E_{i, x^2} = E_{i - 1, x^2 + 2x + 1} imes p\
E_{i, x^3} = E_{i - 1, x^3 + 3x^2 + ex + 1} imes p
]
根据以上分解把(E)拆开算即可.
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define swap std::swap
const int N = (int)1e5;
int main()
{
int n; scanf("%d", &n);
double E[4], ans = 0; for(int i = 1; i <= 3; ++ i) E[i] = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++ i)
{
double p; scanf("%lf", &p);
ans += E[3] * (1 - p);
E[3] = (E[3] + 3 * E[2] + 3 * E[1] + 1) * p; E[2] = (E[2] + 2 * E[1] + 1) * p; E[1] = (E[1] + 1) * p;
}
printf("%.1lf", ans + E[3]);
}