算法分析与设计C++ 总结（一）

递推与递归

递推

通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值
如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。

递归

从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归

例题

依次输出一个数中的每一位数
例如，对于数12345，依次输出1 2 3 4 5
分析：
如果n/10==0,则
输出n;
否则
先对n/10进行相同处理
之后，cout<<n%10;*

#include<iostream>
using namespace std;
void Reverse(int n){
    if(n<10){
        cout << n << endl;
    }else{
        Reverse(n / 10);
        cout << n % 10 << endl;
    }
}
int main(){
    Reverse(123456);
    return 0;
}

分治

分治法的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。

分治策略的算法设计模式

Divide_and_Conquer（P）{
	if (|P|＜＝n0 ) return adhoc(P)；
	divide P into smaller substances P1，P2，…，Pk；
	for (i＝1; i＜＝k; k＋＋) 
		yi＝Divide-and-Conquer（Pi）	     //递归解决Pi
	Return merge（y1，y2，…，yk）	    //合并子问题
}

二分搜索技术

给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找出一特定元素x。
适用分治法求解问题的基本特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；
分解出的各个子问题是相互独立的。

很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。

#include <iostream>
using namespace std;
int binarySearch(int a[], int x, int n)
{
    // 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x
    // 找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1
    int left = 0;
    int right = n - 1;
    while (left <= right)
    {
        int middle = (left + right) / 2;
        if (x == a[middle])
            return middle;
        if (x > a[middle])
            left = middle + 1;
        else
            right = middle - 1;
    }
    return -1; // 未找到x
}
int main()
{
    int a[10] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
    cout<<binarySearch(a, 4, 10);
    return 0;
}