Description
一个序列a1,...,an是合法的，当且仅当：
长度为给定的n。
a1,...,an都是[1,A]中的整数。
a1,...,an互不相等。
一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2...an。
求所有不同合法序列的值的和。
两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
输出答案对一个数mod取余的结果。
Solution
由于 (f(A)) 是一个关于 (A) 的 (n) 次多项式 .
知道 (f[1]...f[2*n+1]) 然后插值一下就行了.
(f[1]...f[2*n+1]) 可以 (DP) 求出 , 强制序列递增 , 最后乘以 (n!) 就行了.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int A,n,m,mod,f[N][N],inv[N],Fac[N];
int main(){
freopen("pp.in","r",stdin);
freopen("pp.out","w",stdout);
cin>>A>>n>>mod;
m=2*n+1;
for(int i=1;i<=m;i++)f[1][i]=i;
for(int i=2;i<=n;i++){
int sum=0;
for(int j=i-1;j<=m;j++){
f[i][j]=1ll*j*sum%mod;
sum=(sum+f[i-1][j])%mod;
}
}
inv[0]=inv[1]=Fac[0]=1;
for(int i=2;i<=m;i++)inv[i]=(mod-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod)%mod;
for(int i=1;i<=m;i++)Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%mod;
for(int i=n;i<=m;i++)f[n][i]=1ll*f[n][i]*Fac[n]%mod;
for(int i=n;i<=m;i++)f[n][i]=(f[n][i]+f[n][i-1])%mod;
if(A<=m)cout<<f[n][A],exit(0);
int ans=0;
for(int i=n;i<=m;i++){
int t=1;
for(int j=1;j<=m;j++)
if(i!=j)t=1ll*t*(A-j)%mod*(i>=j?inv[i-j]:-inv[j-i])%mod;
ans=(ans+1ll*f[n][i]*t)%mod;
}
cout<<(ans+mod)%mod;
return 0;
}