【专题总结】斐波那契数列

前言

老年人的一些整理（全是网上找的）。。（复习用）

本文用((x,y))表示(gcd(x,y))

斐波那契数列是真的神奇啊QAQ

斐波那契数列的定义

[ fib_{n}=left{ egin{aligned} &0 & & n=0 \ &1 & & n=1 \ &fib_{n-1}+fib_{n-2} & & n>1 end{aligned} ight. ]

快速求(f_n)

1.矩阵快速幂

(left[ egin{matrix} fib_{n+1} \ fib_{n} end{matrix} ight]) (=) ({left[ egin{matrix} 1 & 1 \ 1 & 0 end{matrix} ight]}^{n}) (left[ egin{matrix} fib_{1} \ fib_{0} end{matrix} ight])

2.通项公式（怎么求就先不写了吧。。）

(fib_{n}) (=) (frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt[]{5}}displaystyle [ {(frac{1+sqrt[]{5}}{2})}^{n}-{(frac{1-sqrt[]{5}}{2})}^{n}])

ps.这个通项公式看起来没用，但如果要求(f_n)对一个数取模，并且5在模数下有二次方根，用通项公式会有奇效。。

一些性质

斐波那契和gcd

1.((fib_{n},fib_{n-1})=1)

证明：((fib_{n},fib_{n-1})=(fib_{n-1}+fib_{n-2},fib_{n-1})=(fib_{n-1},fib_{n-2})=......)

2.(fib_{n+m}=fib_{n-1}fib_{m}+fib_{n}fib_{m+1})

证明：令(m=1)和(m=2)直接计算成立。。。

然后假设(m=k-1)和(m=k)都成立时，证明(m=k+1)时也成立

(fib_{n+k+1}=fib_{n+k}+fib_{n+k-1})

(fib_{n+k+1}=(fib_{n-1}fib_{k-1}+fib_{n}fib_{k})+(fib_{n-1}fib_{k}+fib_{n}fib_{k+1}))

(fib_{n+k+1}=fib_{n-1}fib_{k+1}+fib_{n}fib_{k+2})

3.((fib_{n+m},fib_{n})=(fib_{m},fib_{n}))

证明：((fib_{n+m},fib_{n})=(fib_{n-1}fib_{m}+fib_{n}fib_{m+1},fib_{n}))

((fib_{n+m},fib_{n})=(fib_{n-1}fib_{m},fib_{n}))

((fib_{n+m},fib_{n})=(fib_{m},fib_{n}))

4.((fib_{n},fib_{m})=fib_{(n,m)})

证明：套用c的结论辗转相除即可。

5.(fib_{n}|fib_{m})等价于(n|m)

证明：(a|b)等价于((a,b)=a),(fib_{n}|fib_{m})等价于(fib_{n}=(fib_{n},fib_{m}))

相当于(fib_{n}=fib_{(n,m)})，于是(n=(n,m))

6.每(n)个连续的斐波那契数有且仅有一个被(fib_{n})整除

证明：由e的结论，所有能被(fib_{n})整除的(fib_{m})的条件是(n|m)，结论就比较显然了。

斐波那契的一些恒等式（证明略。。基本都能用数学归纳法）

1.(displaystyle sum_{i=0}^{n}{fib_{i}}=fib_{n+2}-1)

2.(fib_{1}+fib_{3}+....+fib_{2n-1}=fib_{2n})

3.(fib_{2}+fib_{4}+....+fib_{2n}=fib_{2n+1}-1)

4.(displaystyle sum_{i=0}^{n}{{fib_{i}}^{2}}=fib_{n}fib_{n+1})

5.(displaystyle sum_{i=0}^{n}{(i cdot fib_{i})}=n cdot fib_{n+2} - fib_{n+3} + 2)

斐波那契的循环节

1.结论：斐波那契数列对某个数n取模的循环节长度是O(n)级别的。