Description
Solution
有两种做法
一种是线段树维护一次方程系数，一种是线段树维护矩阵
准备都写一写
维护系数
首先把式子推出来 $$CS=B imes sumlimits_{i=1}^np_i imes(f_{i-1}+1)$$
[f_i=(t+p_i-p_i imes t) imes f_{i-1}+p_i
]
发现 (f_i) 是关于 (f_{i-1}) 的一次函数 (y=kx+b) 形式，可以线段树维护这个 (k) 和 (b)。
还有 (p_i imes(f_{i-1}+1)=p_i imes f_{i-1}+p_i) 也是个一次函数，也能用线段树维护。
具体都维护些什么呢？
在区间 ([L,R]) 维护 (k_1,b_1) 表示 (f_R=k_1f_{L-1}+b_1) 和 (k_2,b_2) 表示 (CS[L,R]=k_2f_{L-1}+b_2)
观察到这样做的好处就是右区间的 (L-1) 等于左区间的 (R)，这样就资瓷快速合并了。
然后如果一个询问是 ([l,r])，那求出来的 (CS[L,R]) 的 (b_2) 就是答案了。
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
const int N=500005;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<int,int>
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
#define ls cur<<1
#define rs cur<<1|1
#define lss ls,l,mid,ql,qr
#define rss rs,mid+1,r,ql,qr
int n,q,t,tb,A,B,b1[N<<2],b2[N<<2];
int p[N],sump[N<<2],k1[N<<2],k2[N<<2];
struct Node{
int sump,k1,b1,k2,b2;
friend Node operator+(Node x,Node y){
Node z;
z.sump=(x.sump+y.sump)%mod;
z.k1=(ll)y.k1*x.k1%mod;
z.b1=((ll)y.k1*x.b1%mod+y.b1)%mod;
z.k2=((ll)y.k2*x.k1%mod+x.k2)%mod;
z.b2=((ll)y.k2*x.b1%mod+y.b2+x.b2)%mod;
return z;
}
};
int getint(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
if(w) return -X;return X;
}
int ksm(int x,int y){
int ans=1;
while(y){
if(y&1) ans=(ll)ans*x%mod;
x=(ll)x*x%mod;y>>=1;
} return ans;
}
int inv(int x){
return ksm(x,mod-2);
}
void pushup(int cur){
k1[cur]=(ll)k1[rs]*k1[ls]%mod;
b1[cur]=((ll)k1[rs]*b1[ls]%mod+b1[rs])%mod;
k2[cur]=((ll)k2[rs]*k1[ls]%mod+k2[ls])%mod;
b2[cur]=((ll)k2[rs]*b1[ls]%mod+(ll)b2[rs]+b2[ls])%mod;
sump[cur]=((ll)sump[ls]+sump[rs])%mod;
}
void build(int cur,int l,int r){
if(l==r){
k1[cur]=((ll)t+p[l]-(ll)p[l]*t%mod+mod)%mod;
b1[cur]=p[l];
k2[cur]=p[l];
b2[cur]=p[l];
sump[cur]=p[l];
return;
} int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
pushup(cur);
}
void modify(int cur,int l,int r,int ql,int qr,int c){
if(l==r){
k1[cur]=((ll)t+c-(ll)c*t%mod+mod)%mod;
b1[cur]=k2[cur]=b2[cur]=sump[cur]=c;
return;
} int mid=l+r>>1;
ql<=mid?modify(lss,c):modify(rss,c);
pushup(cur);
}
Node query(int cur,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l and r<=qr) return (Node){sump[cur],k1[cur],b1[cur],k2[cur],b2[cur]};
int mid=l+r>>1;
if(qr<=mid) return query(lss);
if(ql>mid) return query(rss);
return query(lss)+query(rss);
}
signed main(){
freopen("omeed.in","r",stdin);freopen("omeed.out","w",stdout);
getint();n=getint(),q=getint(),t=getint(),tb=getint(),A=getint(),B=getint();
t=(ll)t*inv(tb)%mod;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=getint(),y=getint();
p[i]=(ll)x*inv(y)%mod;
} build(1,1,n);
while(q--){
if(getint()==0){
int pos=getint(),a=getint(),b=getint(),c=(ll)a*inv(b)%mod;
p[pos]=c;modify(1,1,n,pos,pos,c);
} else{
int l=getint(),r=getint();
Node ans=query(1,1,n,l,r);
printf("%d
",((ll)ans.sump*A%mod+(ll)ans.b2*B%mod)%mod);
}
} return 0;
}
维护矩阵
上面的DP式子已经列出来了。
我们现在要解决的这样一类问题：我们知道DP式子，现在要求多次从不同的起点开始做DP
求出DP的转移矩阵然后线段树上动态DP就好了
姿势不对会T一个点懒得卡常了
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::vector;
typedef double db;
const int N=500005;
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
#define pb(A) push_back(A)
#define pii std::pair<Mat,int>
#define mp(A,B) std::make_pair(A,B)
#define ls cur<<1
#define rs cur<<1|1
#define lss ls,l,mid,ql,qr
#define rss rs,mid+1,r,ql,qr
int n,q,t,ta,A,B;
int p[N],sum[N<<2];
struct Mat{
int a[4][4];
void clear(){
memset(a,0,sizeof a);
}
void init(){
clear();
for(int i=1;i<=3;i++) a[i][i]=1;
}
friend Mat operator*(Mat x,Mat y){
Mat z;z.clear();
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int k=1;k<=3;k++)
for(int j=1;j<=3;j++)
z.a[i][j]=((ll)z.a[i][j]+(ll)x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
return z;
}
}cs[N<<2];
void pushup(int cur){
cs[cur]=cs[ls]*cs[rs];
sum[cur]=(sum[ls]+sum[rs])%mod;
}
void build(int cur,int l,int r){
if(l==r){
cs[cur].a[1][1]=((ll)p[l]+t-(ll)p[l]*t%mod+mod)%mod;cs[cur].a[1][2]=(ll)B*p[l]%mod;cs[cur].a[1][3]=0;
cs[cur].a[2][1]=0;cs[cur].a[2][2]=1;cs[cur].a[2][3]=0;sum[cur]=p[l];
cs[cur].a[3][1]=p[l];cs[cur].a[3][2]=(ll)p[l]*(B+A)%mod;cs[cur].a[3][3]=1;
return;
} int mid=l+r>>1;
build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);pushup(cur);
}
void modify(int cur,int l,int r,int ql,int qr,int c){
if(l==r){
cs[cur].a[1][1]=((ll)c+t-(ll)c*t%mod+mod)%mod;cs[cur].a[1][2]=(ll)B*c%mod;cs[cur].a[1][3]=0;
cs[cur].a[2][1]=0;cs[cur].a[2][2]=1;cs[cur].a[2][3]=0;sum[cur]=c;
cs[cur].a[3][1]=c;cs[cur].a[3][2]=(ll)c*(B+A)%mod;cs[cur].a[3][3]=1;return;
} int mid=l+r>>1;
ql<=mid?modify(lss,c):modify(rss,c);
pushup(cur);
}
Mat query(int cur,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l and r<=qr) return cs[cur];
int mid=l+r>>1;
if(qr<=mid) return query(lss);
if(ql>mid) return query(rss);
return query(lss)*query(rss);
}
int getint(){
int X=0,w=0;char ch=0;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while( isdigit(ch))X=X*10+ch-48,ch=getchar();
if(w) return -X;return X;
}
int ksm(int a,int y){
int ans=1;
while(y){
if(y&1) ans=(ll)ans*a%mod;
a=(ll)a*a%mod;y>>=1;
} return ans;
}
int inv(int x){
return ksm(x,mod-2);
}
signed main(){
getint(),n=getint(),q=getint(),t=getint(),ta=getint(),A=getint(),B=getint();
t=(ll)t*inv(ta)%mod;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=getint(),y=getint();
p[i]=(ll)x*inv(y)%mod;
} build(1,1,n);
while(q--){
if(getint()==0){
int pos=getint(),x=getint(),y=getint(),z=(ll)x*inv(y)%mod;
modify(1,1,n,pos,pos,z);
} else{
int l=getint(),r=getint();
printf("%d
",query(1,1,n,l,r).a[3][2]);
}
} return 0;
}