min-max 容斥

给定集合 (S) ，设 (max(S)) 为 (S) 中的最大值，(min(S)) 为 (S) 中的最小值，则：

[max(S)=sum_{Tin S}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

这个东西叫 min-max容斥。

证明可以拿二项式反演证

例题

有 (n) 种卡片，每一秒都有 (P_i) 的概率获得一张第 (i) 种卡片，求每张卡片都至少有一张的期望时间。

记 (max(S)) 为 (S) 中最后获得的那种卡片第一次获得的期望时间， (min(S)) 为 (S) 中第一个获得的那种卡片第一次获得的期望时间，仍然满足：

[max(S)=sum_{Tin S}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

又因为 (min(T)=frac 1{sumlimits_{iin T}P_i})

直接算就行了。

记 (max(S)) 为 (S) 中最后被或到的元素第一次被或到的期望时间， (min(S)) 为 (S) 中第一个被或到的元素第一次被或到的期望时间，还是那个式子：

[max(S)=sum_{Tin S}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

但是这里互相不是独立的，怎么算 (min(T)) 呢

[min(T)=frac 1{sum_{Scap T e emptyset} P_S} ]

也就是所有与 (T) 有交的集合 (S) 的概率之和

正难则反，求出所有与 (T) 交集为空的集合 (S') 的概率之和，则它们的补集就是与 (T) 有交的集合 (S)。

求出 (S') 的概率之和拿 (1) 再减掉就好啦。这个东西拿 (FWT) 或者 (FMT) 都阔以优化一哈。

[max(S,k)=sum_{Tin S}(-1)^{|T|-k}cdot C(|T|-1,k-1)cdot min(T) ]

其中 (max(S,k)) 表示 (S) 集合中第 (k) 大的元素。

全网就这一道 kth min-max 容斥orz

首先式子还是那个式子，但是这里的 (n) 是 (1000)，不能 (2^n) 枚举子集。考虑递推系数求解。

有 (min(T)=frac m{sum(T)})，其中 (sum(T)=sumlimits_{iin T}p_i)

设 (f[i][j][x]) 表示前 (i) 个元素，选的 (sum(T)) 为 (j)，且将 (k=x) 代入式子后前面那一大串系数的值。

这样设状态的原因就是把等价类划分到了一起，并且容易递推。

由组合数的性质 (C_n^m=C_n^{n-m},C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1})

可以列出 (DP) 转移 (f[i][j][x]=f[i-1][j][x]+(f[i-1][j-p[i]][x-1]-f[i-1][j-p[i]][x]))

可以拿组合数证。