计蒜客NOIP模拟赛(2) D2T2紫色百合

【问题描述】

“牵着你的手的是她，路边开满了紫色的百合花……”

你从梦中醒来，却依然忘不了梦中的她百合花，每朵百合花都有一个权值，在二进制下写成一行‘1’，第i朵紫色百合的权值在二进制下写成i个‘1’。你想挑出其中一些组成“一束百合花”且价值在二进制下恰好为一个‘1’后面P个‘0’，那么有多少种挑选方案呢？

定义“一束百合花”的价值为这些百合花组成的集合的所有子集的权值乘积的和(空集的权值乘积算1)。如价值为1和3组成的一束百合花价值为1+1+3+1*3=8

【输入格式】

一行两个正整数N,P，含义如题目中所示n,p<=100000

【输出格式】

一个整数代表方案数模 998244353 的结果

【样例输入1】

3 3

【样例输出1】

【样例输入2】

233 666

【样例输出2】

572514965

稍稍运用一下数学知识发现题目要求的是选出的集合每个元素+1之后的乘积等于2^P的方案数，取个log就变成了↓

在1~N选若干个数使得总和等于P，求方案数

然后用普通的背包DP可以就拿到60分了

然后我们发现，由于物品大小是1~N，所以最多选取O(sqrt(P))个物品，背包就满了

满分做法可以用状态f[i][j]表示选i个物品，占容量为j的方案数

由于每个背包是不同的，所以根据已选的最小的物品分类讨论一下：

如果最小的物品是1，相当于i-1个物品凑出了j-i的大小，然后整体+1

如果最小的物品不是1，相当于i个物品凑出了j-i的大小，然后整体+1

需要注意我们要防止出现选择了大小为N+1的物品的情况，所以需要减去

得到递推式f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i]-f[i-1][j-(N+1)]

时间复杂度O(Nsqrt(N))

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long lol;
 7 lol Mod=998244353;
 8 int f[451][100011];
 9 lol ans;
10 lol n,p;
11 int main()
12 {lol i,j;
13     cin>>n>>p;
14     f[0][0]=1;
15     for (i=1;i*(i+1)/2<=p;i++)
16     {
17         for (j=i;j<=p;j++)
18         {
19             f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i][j-i];
20             if (j>=(n+1)) f[i][j]-=f[i-1][j-n-1];
21             if (f[i][j]<0) f[i][j]+=Mod;
22             if (f[i][j]>=Mod) f[i][j]-=Mod;
23         }
24         ans=(ans+f[i][p])%Mod;
25     }
26     cout<<ans%Mod;
27 }