本文想要从各个角度介绍映射的度（degree）这一概念。
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综述
记$mathbb{S}^1$为单位圆周。以$Xsimeq Y$表示$X,Y$具有相同的同伦型（同伦等价）。
映射度最初来自于$mathbb{S}^1 o mathbb{S}^1$映射同伦类的研究。熟知$mathbb{S}^1$的基本群给出其上映射同伦类的分类，这是Van Kampen定理的直接推论，其证明可见[1] P158或[2] P28甚至[3] P47。倘若视$mathbb{S}^1subseteq mathbb{C}$，其分类结果朴素地说是映射$[zmapsto z^n]$在$nin mathbb{Z}$时不重不漏地给出所有同伦类。换言之我们得到同构$pi_1(mathbb{S}^1,*)cong mathbb{Z}$。这一分类结果表明，$mathbb{S}^1 o mathbb{S}^1$由旋转的『圈数』决定。因此，平面$mathbb{R}^n$上任意一条封闭曲线$C$，对于不在其上的点$x$，我们总可以透过同伦等价$mathbb{S}^1simeq mathbb{R}^2setminus {x}$谈论环绕的『圈数』（此时也被称为旋转指数），这一概念在复分析中也是关键的，如整体Cauchy积分公式和留数定理，例如[4] P217 10.35 P223 10.42。
以代数拓扑观之
下面我们需要一些同调理论和同伦。目前已知的关于圆周的同伦和同调群的结果是
$$pi_m(mathbb{S}^n,*)=egin{cases}0& m< n \ mathbb{Z} & m=n \ ?? & m>n end{cases}qquad ilde{H}_n(mathbb{S}^n)=egin{cases}0& m eq n \ mathbb{Z} & m=nend{cases}$$
前者给出的$pi_n(mathbb{S}^n,*)=mathbb{Z}$实际上给出$mathbb{S}^n o mathbb{S}^n$全部同伦类，这是一个高度不平凡的结论，这被称为Hopf定理，证明可见[1] P297或[5] P50。后者$ ilde{H}$表示简约奇异同调群，其结果是Mayer-Vietoris序列的自然推论，参见[6] P30。
下面我们的目标是定义一个映射$f: mathbb{S}^n o mathbb{S}^n$的度（degree）。有了上面的Hopf定理，只需要定义$deg f$为$f$在$pi_n(mathbb{S}^n, *)$中的像。用同调，则定义诱导的$$mathbb{Z}cong ilde{H}_n(mathbb{S}^n)stackrel{ ilde{H}_n(f)} o ilde{H}_n(mathbb{S}^n) o mathbb{Z}$$所定义的数乘（因为$mathbb{Z} o mathbb{Z}$的所有同态由$1$的像决定）。这二者通过观察生成元是一致的。最为基本的几个刻画是
- $deg(operatorname{id})=1$。
- $deg(gcirc f)=deg fdeg g$。
- $deg ( extrm{常函数})=0$。
- $deg ( extrm{镜面反射})=-1$，其中镜面反射是$(x_0,x_1,ldots,x_n)mapsto (-x_0,x_1,ldots,x_n)$。
- $deg ( extrm{对径映射})=(-1)^{n+1}$，其中对径映射是$(x_0,x_1,ldots,x_n)mapsto (-x_0,-x_1,ldots,-x_n)$。
- 如果非退化的线性变换$A: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$，那么通过单点紧化得到的映射$mathbb{S}^n o mathbb{S}^n$具有度$operatorname{sgn}(det A)$。
证明可见[6] P32。一个有趣的定理是毛球定理
毛球定理 $mathbb{S}^n$具有一个处处不为$0$的切向量场当且仅当$n$是奇数。
证明 首先无妨将其单位化，假设$x$处的切向量是$v(x)$，不妨假设切向量场是单位的，那么$F(x, heta)=xcos heta+v(x)sin heta$定义同伦$operatorname{id}simeq ( extrm{对径映射})$，根据前面的计算，这迫使$n$是奇数。而如果$n=2k-1$，那么$$v(x_1,ldots,x_{2k})=(x_2,-x_1,x_4,-x_3,ldots,x_{2k},-x_{2k-1})$$定义了一个切向量场。$square$
上面的证明采自[5]第五节。这个定理的几何意义是二维球面上的毛发永远存在『旋』，参见Wiki百科的介绍。
以微分几何观之
实际上，对于光滑映射$f: M o N$，如果$M$是无边紧致可以定向的，$N$是连通可定向的，且$M,N$维数相同，我们也可以定义映射的度。首先定义正则值的概念，称下列集合的元素是正则值$${yin N: forall xin f^{-1}(y), extrm{d}f|_x extrm{非退化}}$$注意，如果$f^{-1}(y)=varnothing$，那么自动是正则值。具体的操作如下
- 首先Sard定理断言，正则值是稠密的。实际上Sard定理指出非正则值具有Lebsgue测度$0$。
- 注意到对于正则值$yin N$, $f^{-1}(y)$总是有限的。
- 对于正则值$yin N$，定义$$deg(f,y)=sum_{xin f^{-1}(y)} operatorname{sgn} extrm{d}f|_x$$这里$operatorname{sgn}$取值为$pm 1$，为$1$与否取决于和定向是否一致。
- 注意到，$deg(f,y)$关于正则值$y$是局部常值的，即使$f^{-1}(y)=varnothing$。
- 证明如果$gsimeq h$，那么$deg(g,y)=deg(h,y)$。这里同伦当然还要求光滑。这部分需要用到定向和一维光滑流形的分类。
- 齐性引理断言任何连通流形$N$上两点都可以有和$operatorname{id}$的同伦$h: N o N$使得$h(x)=y$。
- 综合上述结果可知$deg(f,y)$和正则值$y$的选取是无关的。
以上过程摘自[5]第5节。粗略来说，以上定义切换回$mathbb{S}^1 o mathbb{S}^1$的例子就是看各点是在顺时针旋转还是逆时针旋转。为了防止重复计数的『原路返回』的『假圈数』，用局部顺逆来作为指标。一个或许令人震惊的推论是$deg f eq 0$意味着$f$一定是满射，这表明紧致性的条件确实足够之强。
以上过程说明$deg$是可以局部计算的，拓扑上的证明可见[1]P192 7.5或[2] P134 2.30，这实际上证明了两个度定义的一致性。一个不需要定向的指标是$# f^{-1}(y)mod 2$，建立过程是类似的，参见[5]第4节，这直接用原像的点的个数来衡量。作为定义$deg$的应用，我们可以谈论一个『带重数』的积分定理。
定理 对于两个紧致连通可定向$n$维光滑流形之间的光滑映射$Mstackrel{f} o N$，对任何$N$的$n$次微分形式$omega$都有$$int_M omegacirc f =deg f int_N omega $$
证明 Sard定理断言非正则值是Lebsgue测度0的，这保证了我们可以只在正则值上考虑（因为正则值是开集），通过单位分拆，我们只需要证明存在正则值的开覆盖使得$operatorname{supp}omega$再其中时是正确的即可。这总是可以做到的，因为任意一个正则值$y$，假设$f^{-1}(y)={x_1,ldots,x_m}$，则在$x_i$处局部都是微分同胚，由于有限，可以选择透过$f$微分同胚的开集$U_i i x_i$和$V i y$，这样根据$deg$的定义命题得证。$square$
参见[7] P51 (5.19)，作者在当中重新建立了$deg$的概念。
实际上上述概念还可以纯拓扑地看。令$f:M o N$是无边紧致可定向的$n$维拓扑流形之间的连续映射，Poincaré对偶表明$H^n(M)=H^0(M)=H^n(N)=H^0(N)=mathbb{Z}$，那么可以定义其度为诱导的数乘。当中可定向也需要纯拓扑地定义。至于二者的一致性，利用de Rham理论和上面积分的刻画应当可以证明出其等价性，同时利用定义的局部性，应当也可以给出一个证明，但是目前我没有亲眼看到一个证明，如果你知道任何Reference，请联系我。除此之外，拓扑定义的可定向和微分几何通常可定向是一致的证明，如果你知道，也请务必告诉我。
以代数几何观之
在代数几何中，我们想要类比微分几何对曲线之间的同态定义度的概念。下面固定代数闭域$Bbbk$，我们可以对任意一个超越次数为$1$的域$K$，定义抽象的曲线为其上所有离散赋值构成的集合，当中仿照仿射情形赋予的Zariski拓扑，这总是可以嵌入某个射影空间$mathbb{P}_{Bbbk}^n$的，参见[8] P44 6.9。这表明其是完备的，这类比紧致性，参见[8] P136 6.7。之后我们通称之为曲线。一个重要的引理如下。
引理 态射$Xstackrel{f} o Y$要么是常值映射，要么是满射。
参见[8] P138 6.8。这在Riemann曲面上也有类比。注意到满射意味着对应的函数域有包含关系（实际上只需要像稠密，这被称作dominant）。假如$X$是光滑的，那么函数域$mathcal{K}(Y) o mathcal{K}(X)$是有限代数扩张。我们就定义$$deg f=[mathcal{K}(X): mathcal{K}(Y)]$$
如果运用除子理论，我们可以更清晰地看到这和前面定义的类比之处。对于$Y$上的一个点$y$，那么$y$对应于$mathcal{K}(Y)$上的一个$Bbbk$-离散赋值$mu$，则$y$的原像对应于$mathcal{K}(X)$上的$mu$的全部扩张。假如$tin mathcal{K(Y)}$使得$mu(t)=1$，那么定义$$f^*(y)=sum_{f(x)=y}mu_x(t)xqquad ( extrm{形式和})qquad extrm{其中$mu_x$是$x$对应的$mathcal{K}(X)$上的赋值}$$实际上，$mu_x(t)$就是$x$作为$y$原像的『重数』，这样，类似于数论中的基本恒等式（因为假设代数闭，所以惰性指数始终为$1$，而分歧指数正是$mu_x(t)$）断言$$f^*(y) extrm{各项系数之和}=sum_{f(x)=y}mu_x(t)=deg f$$参见[8] P138 6.9.
我们想要回到最初$mathbb{S}^1 o mathbb{S}^1$上，不过可惜代数几何没有这类类比。好在$mathbb{P}^1_{mathbb{C}}$这样的曲线（这是曲线，参见[8] P136 6.7）是$mathbb{C}$添加上一个无穷远点，这正是我们熟悉的Riemann球。一般地，Riemann球上的多项式函数$f$，在代数拓扑、微分几何、代数几何的意义下的度均是$f$的次数。假设$f$的次数是$n$，不妨假定首项系数为$1$，
- 拓扑地，$f(z)$和$z^n$是同伦的，于是通过Mayer-Vietoris序列只需要限制到单位圆周上考虑，这就说明了$deg f=n$。要验证$f_t=z^n+t( extrm{低次部分})$是同伦，本质上是要验证$infty$附近的情况，无非是说明$f_t$在$z$充分大时恒不为$0$。实际上$f_t$在$|z|> extrm{$f$各个系数的模}+1$时$f_t(z) eq 0$，因为假设各个系数的最大值是$c$那么$$egin{array}{rll}|f_t(z)|& = |z^n+t(ldots )| geq |z^n|-t|ldots| geq |z^n|-|ldots |\ &geq |z^n|-cfrac{|z^n|-1}{|z|-1} > |z^n|-cfrac{|z^n|}{|z|-1} geq |z^n|-|z^n|=0end{array}$$
- 微分几何上看，因为$f(z)=c$在$c$取一般的点的时候是$n$个，且$f$全纯保证定向处处相同。具体来说假如记$f=u+iv,z=x+iy$，那么根据Cauchy-Riemann方程$$det left(egin{array}{cc}frac{partial u}{partial x} &frac{partial v}{partial x} \ frac{partial u}{partial y} &frac{partial v}{partial y} end{array} ight)=det left(egin{array}{cc}frac{partial u}{partial x} &-frac{partial u}{partial y} \ frac{partial u}{partial y} &frac{partial u}{partial x} end{array} ight)geq 0$$这就表明$deg f =n$。
- 代数几何上看，映射$$f: mathbb{P}^1_{mathbb{C}}longrightarrow mathbb{P}^1_{mathbb{C}}qquad xlongmapsto f(x)qquad infty mapsto infty$$诱导了函数域的映射为$$varphi: mathbb{C}(t)longrightarrow mathbb{C}(t)qquad tmapsto f(t)$$如果将$varphi$视作包含，那么这个映射实际上是$$mathbb{C}(t)subseteq mathbb{C}(t)[X]/(f(X)-t)$$这是一个$n$次代数扩张，根据定义$deg f=n$。
这说明了以上三种几何理解映射度的一致性。
参考文献
[1] Topology and Geometry. Glen E. Bredon. GTM139.
[2] Algebraic Topology. Allen Hatcher available at the author's homepage.
[3] Algebraic Topology. Tamma tom Dieck.
[4] Real and Complex Analysis. Walter Rudin.
[5] Topology from the diferentiable viewpoint. John W. Milnor.
[6] 同调论. 姜伯驹.
[7] Representations of Compact Lie Groups. Theodor Bröcker & Tammo tom Dieck.
[8] Algebraic Geometry. Robin Harshorne. GTM52.
后记
想不到写完已经这么晚了，一直以来都想搞明白这些横跨各个几何之间概念的联系，今天（准确的说是昨天）看了代数几何的版本，又回忆起之前学习到的度的概念，觉得是时候整理一番了，就写到这么晚了。或许需要一些图片来解释，明天有时间再添加吧。
最近有些失眠，都是三四点才睡，希望这几天能调整过来。
图片：cowlick