函数极限
设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 的某一空心邻域内有定义，如果存在常数 (A)，对于任意给定正数 (xi)（无论它多么小），总存在正数 (delta)，使得对于 (0 < |x - x_0| < delta)，均有 (f(x) - A < xi) 那么常数 (A) 就叫做函数 (f(x)) 当 (x o x_0) 时的极限，记作
[lim_{x o x_0} f(x) = A
]
导数与斜率
斜率：函数在某点的变化率
对于一次函数 (y = kx + b) 来说，斜率为 (k)
导数：函数斜率的函数
[f'(x) = lim_{delta o 0} frac {f(x_0 + delta) - f(x_0)} {delta}
]
为了方便起见，下文中没有特殊规定则 (delta o 0) (( delta))
导数存在性：从左侧与右侧趋近时极限相同才可定义导数
[lim_{delta o 0^-} frac {f(x_0 + delta) - f(x_0)} {delta} = lim_{delta o 0^+} frac {f(x_0 + delta) - f(x_0)} {delta}
]
函数存在拐点则无导数
求导
对于一些简单的式子，可以用上方公式随便推导比如
[f = sin(x), f' = cos(x)
]
[egin{aligned}
f' &= frac {sin(x + delta) - sin(x)} delta \
&= frac {sin(x)cos(delta) + cos(x)sin(delta)- sin(x)} delta \
&= frac {cos(x)sin(delta)} delta \
&= cos(x)
end{aligned}]
(frac {sin(delta)} delta = 1) 因为这相当于 对边/弧长
[f(x) = x ^ a, f'(x) = a x ^ {a - 1}
]
[egin{aligned}
f'(x) &= frac{(x + delta) ^ a - x^a} delta \
&= frac{sum_{i = 0} ^ a inom a i x^i delta^{a - i} - x^a} delta \
&= a x^{a - 1}
end{aligned}]
消一消项就行了，因为 (delta) 太小，所有乘了 (delta) 的都变成 (0) 了
对于复杂的式子，证明过于复杂，用的时候不可能每次都推，所以要记住结论
[egin{aligned}
f &= c, f' = 0 \
f &= x ^ n, f' = n x ^ {n - 1} \
f &= sin(x), f' = cos(x) \
f &= cos(x), f' = -sin(x) \
f &= tan(x), f' = frac 1 {cos^2(x)} \
f &= ln(x), f' = frac 1 x \
f &= log_a(x), f' = frac 1 {a ln(a)} \
f &= e ^ x, f' = e ^ x \
f &= a ^ x, f' = a ^ x ln(a)
end{aligned}]
求导法则
[egin{aligned}
(f + g)' &= f' + g' \
(f * g)' &= f'g + g'f \
(frac f g)' &= frac {f'g - g'f} {g^2} \
(c f(x))' &= c f'(x) \
f(g(x))' &= frac {df} {dg} * frac {dg} {dx} = frac {df} {dx} = f'(g(x))g'(x)
end{aligned}]
洛必达法则
若 (f(x)) 与 (g(x)) 在空心邻域 (a) 内为 (0)，即 (frac 0 0) 则
[lim_{x o a} frac {f(x)} {g(x)} = lim_{x o a} frac{frac{f(x) - f(a)} {x - a}} {frac{g(x) - g(a)} {x - a}} = frac{f'(x)} {g'(x)}
]
无约束函数极值
最值点导数一定为零，否则可以更优
[f'(x) = 0
]
牛顿迭代法
我愿称之为，玄学迭代法
寻找函数的根，函数要是没根都停不下来
比如我当前在点 (x)，每次让 (x = x - len)，(len = frac {f(x)} {f'(x)}) 画个图就明白了
(f(x) < eps) 就停止，碰着玄学函数根本就停不下来，但是一般函数又莫名的快 $sqrt $ 缩减
定积分
[int_l^r f(x) dx
]
大家都知道 (sum_{i = l} ^ r x * 1) ，这个式子就是把 (i) 每次加 (dx,dx) 非常小
如果
[f(x)= g'(x)
]
则
[int_l^r f(x) dx = g(r) - g(l)
]
(g(r) - g(l)) 记作 ([g(x)]_l ^r)
证明
[f(x) = frac {dg} {dx}
]
[int_l^r f(x) dx = int_l^r dg = [g(x)]_l^r
]
不定积分
在微积分中，一个函数 (f) 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于 (f) 的函数 (F)，即 (F ' = f)。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中 (F) 是 (f) 的不定积分。
在 (OI) 中常用来调整生成函数次幂与系数的关系
积分与概率期望
自适应辛普森积分法
常用来求不规则平面图形面积，比如圆的面积并
求 ([a,b]) 的面积
[S_a^b = frac {b - a} 6 * (f(a) + 4f(frac {a + b} 2) + f(b))
]
其实就是用二次函数拟合不规则曲线
当
[int_a^b f(x) dx - (int_a^{frac {a + b} 2} f(x) dx+ int_{frac{a + b} 2}^b f(x) dx) < eps
]
停止递归
偏导数
对于多元函数 (f(x, y)) 在 ((x_0, y_0)) 处固定 (y) 不变移动 (x)，可以得到一个单变量 (g(x))，同理固定 (x) 不动，可以得到 (h(y))
求偏导时将另一个变量当作常数即可
梯度
(f'(x, y) = (g(x), h(y)))
函数上升最快的方向就是 ((g(x), h(y)))
函数最优化
给定多元函数 (f(x_1, x_2, x_3...)) 求 (f(x)) 极值
模拟退火
粒子群优化（微粒群算法）
拉格朗日乘数法（下面）
拉格朗日乘数法（有约束函数极值）
给定多元函数 (f(x)) 求极值，且满足限制 (g_1(x) = 0, g_2(x) = 0)
引入拉格朗日乘子，将函数升到高维空间
[f(x, lambda_1, lambda_2) = f(x) + lambda_1g_1(x) + lambda_2g_2(x)
]
函数极值偏导显然为 (0)
[egin{aligned}
abla_x f(x, lambda_1, lambda_2) &= 0 \
abla_lambda f(x, lambda_1, lambda_2) &= 0\
end{aligned}]
这样我们将极值问题转化为了解方程
实际上引入的两个拉格朗日乘子 (lambda_1,lambda_2) 可以看作 (infty)，它的作用是约束函数，一旦函数不满足限制条件则偏导一定不为零
End ?