【二叉搜索树】的详细实现(C++)

二叉搜索树的概念

　　从前面讨论折半搜索的性能中可知，如果每次从搜索序列的中间进行搜索，把区间缩小一半，通过有限次迭代，很快就能通近到所要寻找的元素。进一步，如果我们直接输入搜索序列，构造出类似于折半搜索的判定树那样的树形结构，就能实现快速搜索。这种树形结构就是二又搜索树。

二又搜索树（binary search tree）或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二又树：

　　（1）每个结点都有一个作为搜索依据的关键码（key），所有结点的关键码互不相同。

　　（2）左子树（如果存在）上所有结点的关键码都小于根结点的关键码。

　　（3）右子树（如果存在）上所有结点的关键码都大于根结点的关键码。

　　（4）左子树和右子树也是二又搜索树。

　　关键码事实上是结点所保存元素中的某个域的值，它能够唯一地表示这个结点。因此，如果对一棵二又搜索树进行中序遍历，可以按从小到大的顺序，将各结点关键码排列起来，所以也称二叉搜索树为二又排序树（binary sorting tree）。

二叉搜索树的建立

　　输入一系列数据，建立一棵二又搜索树。它要求从空树开始建树，输入序列以输入一个结束标志value结束。这个值应当取不可能在输入序列中出现的值，例如输入序列的值都是正整数时，取RefValue为0或负数。

 1     //构造BST
 2     BST(T value) :root(NULL), RefValue(value)
 3     {
 4         T x;
 5         cin >> x;
 6         while (x != RefValue)
 7         {
 8             Insert(x, root);    //新建一个结点，调用Insert插入到树中
 9             cin >> x;
10         }
11     }

二叉搜索树的插入

　　为了向二又搜索树中插入一个新元素，必须先检查这个元素是否在树中已经存在。所以在插入之前，先使用搜索算法在树中检查要插入元素有还是没有。如果搜索成功，说明树中已经有这个元素，不再插入；如果搜索不成功，说明树中原来没有关键码等于给定值的结点，把新元素加到搜索操作停止的地方。当ptr!=NULL时，它一定指向一棵子树的根，可用它所包含的关键码与给定值比较继续搜索插入位置；如果 ptr=NULL，一定是递归到空树的位置，此时将创建的新结点地址送给ptr，因为ptr是引用，新结点的地址自然送入上述某一个指针域，自动将新结点作为叶结点链入二又搜索树中了。每次结点的插入，都要从根结点出发搜索插入位置，然后把新结点作为时结点插入。这样不需移动结点，只需修改某个已有树中结点的一个空指针即可。

 1     //以ptr为根的二叉搜索树中插入所含值为e1的结点
 2     bool Insert(const T& e1, BSTNode<T>* &ptr)    //第二个参数是指针的引用
 3     {
 4         if (ptr == NULL)
 5         {
 6             ptr = new BSTNode<T>(e1);    //构造新结点
 7             if (ptr == NULL)
 8             {
 9                 cout << "Memory allocation failed!" << endl;
10                 exit(1);
11             }
12             return true;
13         }
14         else if (e1 < ptr->data)    //小于，插入左子树
15         {
16             Insert(e1, ptr->left);
17         }
18         else if (e1 > ptr->data)    //大于，插入右子树
19         {
20             Insert(e1, ptr->right);
21         }
22         else    //x已在树中，不插入
23         {
24             return false;
25         }
26     }

二叉搜索树的递归搜索

　　从根结点开始，沿某一个分支逐层向下进行比较判等的过程。它可以是一个递归的过程。假设想要在二又搜索树中搜索关键码为x的元素，搜索过程从根结点开始。如果根指针为NULL，则搜索不成功；否则用给定值x与根结点的关键码进行比较：如果给定值等于根结点的关键码，则搜索成功，返回搜索成功信息，并报告搜索到的结点地址。如果给定值小于根结点的关键码，则继续递归搜索根结点的左子树，否则，递归搜索根结点的右子树。

 1     //在ptr为根的二叉搜索树中搜索含x的结点。若找到，返回该结点地址，否则返回NULL
 2     BSTNode<T>* Search(T x, BSTNode<T>* ptr)
 3     {
 4         if (ptr == NULL)
 5         {
 6             return NULL;
 7         }
 8         else if (x < ptr->data)
 9         {
10             return Search(x, ptr->left);
11         }
12         else if (x > ptr->data)
13         {
14             return Search(x, ptr->right);
15         }
16         else
17         {
18             return ptr;
19         }
20     }

二叉搜索树的删除

　　在二又搜索树中删除一个结点时，必须将因删除结点而断开的二又链表重新链接起来，同时确保二叉搜索树的性质不会失去。此外，为了保证在执行删除后，树的搜索性能不至于降低，还需要防止重新链接后树的高度不能增加。

　　如果想要删除叶结点，只需将其父结点指向它的指针清零，再释放它即可。

　　如果被删结点右子树为空，可以拿它的左子女结点顶替它的位置，再释放它。

　　如果被删结点左子树为空，可以拿它的右子女结点顶替它的位置，再释放它。

　　如果被删结点左、右子树都不空，可以在它的右子树中寻找中序下的第一个结点（关键码最小），用它的值填补到被删结点中，再来处理这个结点的删除问题，这是一个递归处理。例如，在上图中想要删除关键码为78的结点，它的左、右子树都不空。在它的右子树中找中序下的第一个结点，其关键码为81。把它的值填补到被删结点中去，下面的问题就是删除关键码为81的结点了。这个结点左子树为空，用它的右子女（关键码为88）代替它的位置就可以了。

 1     //以ptr为根的二叉搜索树中删除含x的结点
 2     bool Remove(T x, BSTNode<T>* &ptr)
 3     {
 4         BSTNode<T>* temp;
 5         if (ptr != NULL) //ptr不为空进行操作
 6         {
 7             if (x < ptr->data)
 8             {
 9                 Remove(x, ptr->left);
10             }
11             else if (x > ptr->data)
12             {
13                 Remove(x, ptr->right);
14             }
15             //找到了要删除的结点
16             //1.要删除的结点ptr同时有左右子树
17             else if (ptr->left != NULL&&ptr->right != NULL)
18             {
19                 temp = ptr->right;    //在右子树中搜索中序下的第一个结点
20                 while (temp->left != NULL)
21                 {
22                     temp = temp->left;
23                 }
24                 //用右子树中序下的第一个结点的值填充要删除的结点
25                 ptr->data = temp->data;
26                 //然后再新填充值ptr的右子树中删除temp的data值
27                 Remove(ptr->data, ptr->right);
28             }
29             else //不同时有左右子树
30             {
31                 temp = ptr;        //temp记住要删除的ptr结点
32                 if (ptr->left == NULL) //只有右子树
33                 {
34                     ptr = ptr->right;
35                 }
36                 else    //只有左子树
37                 {
38                     ptr = ptr->left;
39                 }
40                 delete temp;    //删除结点
41                 temp = NULL;
42                 return true;
43             }
44         }
45         else //ptr为空直接返回false
46         {
47             return false;
48         }
49     }

二叉搜索树的销毁

　　二叉搜索树的销毁与普通二叉树基本相同。

 1     //销毁以root为根的二叉树搜索树函数
 2     void Destroy(BSTNode<T>* &root)
 3     {
 4         if (root == NULL)
 5         {
 6             return;
 7         }
 8         if (root->left != NULL)
 9         {
10             Destroy(root->left);
11         }
12         if (root->right != NULL)
13         {
14             Destroy(root->right);
15         }
16         delete root;
17         root = NULL;
18     }

二叉搜索树的源码

  1 //二叉搜索树结点类型
  2 template<typename T>
  3 struct BSTNode
  4 {
  5     T data;    //数据域
  6     BSTNode<T> *left, *right;    //左子女、右子女
  7     BSTNode() :left(NULL), right(NULL) {}    //构造函数
  8     //构造函数
  9     BSTNode(const T d, BSTNode<T>* L = NULL, BSTNode<T>* R = NULL) :data(d), left(L), right(R) {}
 10 };
 11 
 12 //二叉搜索树的定义
 13 template <class T>
 14 class BST
 15 {
 16 public:
 17     //普通构造函数
 18     BST() :root(NULL) {}
 19     //构造BST
 20     BST(T value) :root(NULL), RefValue(value)
 21     {
 22         T x;
 23         cin >> x;
 24         while (x != RefValue)
 25         {
 26             Insert(x, root);    //新建一个结点，调用Insert插入到树中
 27             cin >> x;
 28         }
 29     }
 30     //析构
 31     ~BST() { Destroy(root); }
 32 
 33     //插入
 34     bool Insert(T x) { return Insert(x, root); }
 35 
 36     //删除
 37     bool Remove(T x) { return Remove(x, root); }
 38 
 39     //搜索
 40     bool Search(T x) { return (Search(x, root) != NULL) ? true : false; }
 41 
 42     //中序遍历
 43     void InOrder() { InOrder(root); }
 44 
 45 protected:
 46 
 47     //以ptr为根的二叉搜索树中插入所含值为e1的结点
 48     bool Insert(const T& e1, BSTNode<T>* &ptr)    //第二个参数是指针的引用
 49     {
 50         if (ptr == NULL)
 51         {
 52             ptr = new BSTNode<T>(e1);    //构造新结点
 53             if (ptr == NULL)
 54             {
 55                 cout << "Memory allocation failed!" << endl;
 56                 exit(1);
 57             }
 58             return true;
 59         }
 60         else if (e1 < ptr->data)    //小于，插入左子树
 61         {
 62             Insert(e1, ptr->left);
 63         }
 64         else if (e1 > ptr->data)    //大于，插入右子树
 65         {
 66             Insert(e1, ptr->right);
 67         }
 68         else    //x已在树中，不插入
 69         {
 70             return false;
 71         }
 72     }
 73 
 74     //以ptr为根的二叉搜索树中删除含x的结点
 75     bool Remove(T x, BSTNode<T>* &ptr)
 76     {
 77         BSTNode<T>* temp;
 78         if (ptr != NULL) //ptr不为空进行操作
 79         {
 80             if (x < ptr->data)
 81             {
 82                 Remove(x, ptr->left);
 83             }
 84             else if (x > ptr->data)
 85             {
 86                 Remove(x, ptr->right);
 87             }
 88             //找到了要删除的结点
 89             //1.要删除的结点ptr同时有左右子树
 90             else if (ptr->left != NULL&&ptr->right != NULL)
 91             {
 92                 temp = ptr->right;    //在右子树中搜索中序下的第一个结点
 93                 while (temp->left != NULL)
 94                 {
 95                     temp = temp->left;
 96                 }
 97                 //用右子树中序下的第一个结点的值填充要删除的结点
 98                 ptr->data = temp->data;
 99                 //然后再新填充值ptr的右子树中删除temp的data值
100                 Remove(ptr->data, ptr->right);
101             }
102             else //不同时有左右子树
103             {
104                 temp = ptr;        //temp记住要删除的ptr结点
105                 if (ptr->left == NULL) //只有右子树
106                 {
107                     ptr = ptr->right;
108                 }
109                 else    //只有左子树
110                 {
111                     ptr = ptr->left;
112                 }
113                 delete temp;    //删除结点
114                 temp = NULL;
115                 return true;
116             }
117         }
118         else //ptr为空直接返回false
119         {
120             return false;
121         }
122     }
123 
124     //在ptr为根的二叉搜索树中搜索含x的结点。若找到，返回该结点地址，否则返回NULL
125     BSTNode<T>* Search(T x, BSTNode<T>* ptr)
126     {
127         if (ptr == NULL)
128         {
129             return NULL;
130         }
131         else if (x < ptr->data)
132         {
133             return Search(x, ptr->left);
134         }
135         else if (x > ptr->data)
136         {
137             return Search(x, ptr->right);
138         }
139         else
140         {
141             return ptr;
142         }
143     }
144 
145     //中序遍历
146     void InOrder(BSTNode<T>* root)
147     {
148         if (root != NULL)
149         {
150             InOrder(root->left);
151             cout << root->data << " ";
152             InOrder(root->right);
153         }
154     }
155 
156     //销毁以root为根的二叉树搜索树函数
157     void Destroy(BSTNode<T>* &root)
158     {
159         if (root == NULL)
160         {
161             return;
162         }
163         if (root->left != NULL)
164         {
165             Destroy(root->left);
166         }
167         if (root->right != NULL)
168         {
169             Destroy(root->right);
170         }
171         delete root;
172         root = NULL;
173     }
174 private:
175     BSTNode<T>* root;    //根指针
176     T RefValue;    //输入结束标识
177 };
178 
179 int main(int argc, char* argv[])
180 {
181     //g a e d f h j i l k #
182     BST<char> tree('#');
183     tree.InOrder();
184     cout << endl;
185     cout << tree.Search('e') << endl;
186     cout << tree.Insert('z') << endl;
187     tree.InOrder();
188     cout << endl;
189     cout << tree.Remove('z') << endl;
190     cout << tree.Remove('j') << endl;
191     tree.InOrder();
192     cout << endl;
193     return 0;
194 }

源代码